Theorem fnmpt 6720

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3509	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 3089	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 6719	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 218	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249   Fn wfn 6568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-fun 6575  df-fn 6576

This theorem is referenced by:  fnmptd  6721  mpt0  6722  fnmptfvd  7074  ralrnmptw  7128  ralrnmpt  7130  fmpt  7144  fmpt2d  7158  f1ocnvd  7701  offval2  7734  ofrfval2  7735  mptcnfimad  8027  fsplitfpar  8159  mptelixpg  8993  fifo  9501  cantnflem1  9758  infmap2  10286  compssiso  10443  gruiun  10868  mptnn0fsupp  14048  mptnn0fsuppr  14050  seqof  14110  rlimi2  15560  prdsbas3  17541  prdsbascl  17543  prdsdsval2  17544  quslem  17603  fnmrc  17665  isofn  17836  ghmquskerco  19324  pmtrrn  19499  pmtrfrn  19500  pmtrdifwrdellem2  19524  gsummptcl  20009  mptscmfsupp0  20947  ofco2  22478  pmatcollpw2lem  22804  neif  23129  tgrest  23188  cmpfi  23437  elptr2  23603  xkoptsub  23683  ptcmplem2  24082  ptcmplem3  24083  prdsxmetlem  24399  prdsxmslem2  24563  bcth3  25384  uniioombllem6  25642  itg2const  25795  ellimc2  25932  dvrec  26013  dvmptres3  26014  ulmss  26458  ulmdvlem1  26461  ulmdvlem2  26462  ulmdvlem3  26463  itgulm2  26470  psercn  26488  tgjustr  28500  f1o3d  32646  f1od2  32735  psgnfzto1stlem  33093  frlmdim  33624  rmulccn  33874  esumnul  34012  esum0  34013  gsumesum  34023  ofcfval2  34068  signsplypnf  34527  signsply0  34528  hgt750lemb  34633  wevgblacfn  35076  matunitlindflem1  37576  matunitlindflem2  37577  cdlemk56  40928  dicfnN  41140  hbtlem7  43082  refsumcn  44930  wessf1ornlem  45092  choicefi  45107  axccdom  45129  fsumsermpt  45500  liminfval2  45689  stoweidlem31  45952  stoweidlem59  45980  stirlinglem13  46007  dirkercncflem2  46025  fourierdlem62  46089  subsaliuncllem  46278  subsaliuncl  46279  hoidmvlelem3  46518  dfafn5b  47076  fundcmpsurinjlem2  47273  lincresunit2  48207