Theorem fnmpt 6482

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3512	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 3160	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 6481	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 220	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5138   Fn wfn 6344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-fun 6351  df-fn 6352

This theorem is referenced by:  fnmptd  6483  mpt0  6484  fnmptfvd  6805  ralrnmptw  6854  ralrnmpt  6856  fmpt  6868  fmpt2d  6881  f1ocnvd  7390  offval2  7420  ofrfval2  7421  fsplitfpar  7808  mptelixpg  8493  fifo  8890  cantnflem1  9146  infmap2  9634  compssiso  9790  gruiun  10215  mptnn0fsupp  13359  mptnn0fsuppr  13361  seqof  13421  rlimi2  14865  prdsbas3  16748  prdsbascl  16750  prdsdsval2  16751  quslem  16810  fnmrc  16872  isofn  17039  pmtrrn  18579  pmtrfrn  18580  pmtrdifwrdellem2  18604  gsummptcl  19081  mptscmfsupp0  19693  ofco2  21054  pmatcollpw2lem  21379  neif  21702  tgrest  21761  cmpfi  22010  elptr2  22176  xkoptsub  22256  ptcmplem2  22655  ptcmplem3  22656  prdsxmetlem  22972  prdsxmslem2  23133  bcth3  23928  uniioombllem6  24183  itg2const  24335  ellimc2  24469  dvrec  24546  dvmptres3  24547  ulmss  24979  ulmdvlem1  24982  ulmdvlem2  24983  ulmdvlem3  24984  itgulm2  24991  psercn  25008  tgjustr  26254  f1o3d  30366  f1od2  30451  psgnfzto1stlem  30737  frlmdim  31004  rmulccn  31166  esumnul  31302  esum0  31303  gsumesum  31313  ofcfval2  31358  signsplypnf  31815  signsply0  31816  hgt750lemb  31922  matunitlindflem1  34882  matunitlindflem2  34883  cdlemk56  38101  dicfnN  38313  hbtlem7  39718  refsumcn  41280  wessf1ornlem  41438  choicefi  41456  axccdom  41480  fsumsermpt  41853  liminfval2  42042  stoweidlem31  42310  stoweidlem59  42338  stirlinglem13  42365  dirkercncflem2  42383  fourierdlem62  42447  subsaliuncllem  42634  subsaliuncl  42635  hoidmvlelem3  42873  dfafn5b  43354  fundcmpsurinjlem2  43553  lincresunit2  44527