Theorem fnmpt 6640

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3465	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 3066	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 6639	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 218	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5183   Fn wfn 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-fun 6501  df-fn 6502

This theorem is referenced by:  fnmptd  6641  mpt0  6642  fnmptfvd  6995  ralrnmptw  7048  ralrnmpt  7050  fmpt  7064  fmpt2d  7078  f1ocnvd  7620  offval2  7653  ofrfval2  7654  mptcnfimad  7944  fsplitfpar  8074  mptelixpg  8885  fifo  9359  cantnflem1  9618  infmap2  10146  compssiso  10303  gruiun  10728  mptnn0fsupp  13938  mptnn0fsuppr  13940  seqof  14000  rlimi2  15456  prdsbas3  17420  prdsbascl  17422  prdsdsval2  17423  quslem  17482  fnmrc  17544  isofn  17713  ghmquskerco  19192  pmtrrn  19363  pmtrfrn  19364  pmtrdifwrdellem2  19388  gsummptcl  19873  mptscmfsupp0  20809  ofco2  22314  pmatcollpw2lem  22640  neif  22963  tgrest  23022  cmpfi  23271  elptr2  23437  xkoptsub  23517  ptcmplem2  23916  ptcmplem3  23917  prdsxmetlem  24232  prdsxmslem2  24393  bcth3  25207  uniioombllem6  25465  itg2const  25617  ellimc2  25754  dvrec  25835  dvmptres3  25836  ulmss  26282  ulmdvlem1  26285  ulmdvlem2  26286  ulmdvlem3  26287  itgulm2  26294  psercn  26312  tgjustr  28377  f1o3d  32524  f1od2  32617  psgnfzto1stlem  33030  frlmdim  33580  rmulccn  33891  esumnul  34011  esum0  34012  gsumesum  34022  ofcfval2  34067  signsplypnf  34514  signsply0  34515  hgt750lemb  34620  wevgblacfn  35069  matunitlindflem1  37583  matunitlindflem2  37584  cdlemk56  40938  dicfnN  41150  hbtlem7  43087  refsumcn  44997  wessf1ornlem  45152  choicefi  45167  axccdom  45189  fsumsermpt  45550  liminfval2  45739  stoweidlem31  46002  stoweidlem59  46030  stirlinglem13  46057  dirkercncflem2  46075  fourierdlem62  46139  subsaliuncllem  46328  subsaliuncl  46329  hoidmvlelem3  46568  dfafn5b  47135  fundcmpsurinjlem2  47373  upgrimwlklem1  47870  lincresunit2  48440  isofnALT  48993