MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnmpt 6198
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
fnmpt (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 3365 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ∈ V)
21ralimi 3099 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 mptfng.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43mptfng 6197 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
52, 4sylib 209 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cmpt 4888   Fn wfn 6063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-fun 6070  df-fn 6071
This theorem is referenced by:  mpt0  6199  fnmptfvd  6510  ralrnmpt  6558  fmpt  6570  fmpt2d  6583  f1ocnvd  7082  offval2  7112  ofrfval2  7113  mptelixpg  8150  fifo  8545  cantnflem1  8801  infmap2  9293  compssiso  9449  gruiun  9874  mptnn0fsupp  13004  mptnn0fsuppr  13006  seqof  13065  rlimi2  14530  prdsbas3  16407  prdsbascl  16409  prdsdsval2  16410  quslem  16469  fnmrc  16533  isofn  16700  pmtrrn  18140  pmtrfrn  18141  pmtrdifwrdellem2  18165  gsummptcl  18632  mptscmfsupp0  19197  ofco2  20534  pmatcollpw2lem  20861  neif  21184  tgrest  21243  cmpfi  21491  elptr2  21657  xkoptsub  21737  ptcmplem2  22136  ptcmplem3  22137  prdsxmetlem  22452  prdsxmslem2  22613  bcth3  23408  uniioombllem6  23646  itg2const  23798  ellimc2  23932  dvrec  24009  dvmptres3  24010  ulmss  24442  ulmdvlem1  24445  ulmdvlem2  24446  ulmdvlem3  24447  itgulm2  24454  psercn  24471  f1o3d  29881  f1od2  29948  psgnfzto1stlem  30297  rmulccn  30421  esumnul  30557  esum0  30558  gsumesum  30568  ofcfval2  30613  signsplypnf  31076  signsply0  31077  hgt750lemb  31185  matunitlindflem1  33829  matunitlindflem2  33830  cdlemk56  36927  dicfnN  37139  hbtlem7  38372  refsumcn  39841  wessf1ornlem  40018  choicefi  40037  axccdom  40061  fnmptd  40076  fsumsermpt  40449  liminfval2  40638  stoweidlem31  40885  stoweidlem59  40913  stirlinglem13  40940  dirkercncflem2  40958  fourierdlem62  41022  subsaliuncllem  41212  subsaliuncl  41213  hoidmvlelem3  41451  dfafn5b  41909  lincresunit2  42936
  Copyright terms: Public domain W3C validator