Theorem fnmpt 6691

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3491	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 3081	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 6690	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 217	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5232   Fn wfn 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-fun 6546  df-fn 6547

This theorem is referenced by:  fnmptd  6692  mpt0  6693  fnmptfvd  7043  ralrnmptw  7096  ralrnmpt  7098  fmpt  7112  fmpt2d  7126  f1ocnvd  7661  offval2  7694  ofrfval2  7695  fsplitfpar  8108  mptelixpg  8933  fifo  9431  cantnflem1  9688  infmap2  10217  compssiso  10373  gruiun  10798  mptnn0fsupp  13968  mptnn0fsuppr  13970  seqof  14031  rlimi2  15464  prdsbas3  17433  prdsbascl  17435  prdsdsval2  17436  quslem  17495  fnmrc  17557  isofn  17728  pmtrrn  19368  pmtrfrn  19369  pmtrdifwrdellem2  19393  gsummptcl  19878  mptscmfsupp0  20683  ofco2  22175  pmatcollpw2lem  22501  neif  22826  tgrest  22885  cmpfi  23134  elptr2  23300  xkoptsub  23380  ptcmplem2  23779  ptcmplem3  23780  prdsxmetlem  24096  prdsxmslem2  24260  bcth3  25081  uniioombllem6  25339  itg2const  25492  ellimc2  25628  dvrec  25706  dvmptres3  25707  ulmss  26143  ulmdvlem1  26146  ulmdvlem2  26147  ulmdvlem3  26148  itgulm2  26155  psercn  26172  tgjustr  27990  f1o3d  32116  f1od2  32211  psgnfzto1stlem  32527  ghmquskerco  32801  frlmdim  32982  rmulccn  33204  esumnul  33342  esum0  33343  gsumesum  33353  ofcfval2  33398  signsplypnf  33857  signsply0  33858  hgt750lemb  33964  gg-rmulccn  35467  matunitlindflem1  36789  matunitlindflem2  36790  cdlemk56  40147  dicfnN  40359  hbtlem7  42171  refsumcn  44018  wessf1ornlem  44184  choicefi  44199  axccdom  44221  fsumsermpt  44595  liminfval2  44784  stoweidlem31  45047  stoweidlem59  45075  stirlinglem13  45102  dirkercncflem2  45120  fourierdlem62  45184  subsaliuncllem  45373  subsaliuncl  45374  hoidmvlelem3  45613  dfafn5b  46169  fundcmpsurinjlem2  46367  lincresunit2  47248