MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpf 22651
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpval.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpval.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpval.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpval.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpval.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpval.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
pm2mpcl.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
Assertion
Ref Expression
pm2mpf ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ)

Proof of Theorem pm2mpf
Dummy variables ๐‘š ๐‘˜ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7439 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) โˆˆ V)
2 pm2mpval.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
3 pm2mpval.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
4 pm2mpval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
5 pm2mpval.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
6 pm2mpval.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
7 pm2mpval.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
8 pm2mpval.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
9 pm2mpval.q . . 3 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
10 pm2mpval.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpval 22648 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
12 pm2mpcl.l . . . 4 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12pm2mpcl 22650 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ฟ)
14133expa 1115 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ฟ)
151, 11, 14fmpt2d 7118 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  โ„•0cn0 12473  Basecbs 17151   ยท๐‘  cvsca 17208   ฮฃg cgsu 17393  .gcmg 18993  mulGrpcmgp 20037  Ringcrg 20136  var1cv1 22046  Poly1cpl1 22047   Mat cmat 22258   decompPMat cdecpmat 22615   pMatToMatPoly cpm2mp 22645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-psr1 22050  df-vr1 22051  df-ply1 22052  df-coe1 22053  df-mamu 22237  df-mat 22259  df-decpmat 22616  df-pm2mp 22646
This theorem is referenced by:  pm2mpf1  22652  pm2mpfo  22667  pm2mpghm  22669  pm2mpmhm  22673
  Copyright terms: Public domain W3C validator