MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffvresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffvresb 7124
Description: A necessary and sufficient condition for a restricted function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ffvresb (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffvresb
StepHypRef Expression
1 fdm 6727 . . . . . 6 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 → dom (𝐹𝐴) = 𝐴)
2 dmres 6004 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3 inss2 4230 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
42, 3eqsstri 4017 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
51, 4eqsstrrdi 4038 . . . . 5 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
65sselda 3983 . . . 4 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7 fvres 6911 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9 ffvelcdm 7084 . . . . 5 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
108, 9eqeltrrd 2835 . . . 4 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
116, 10jca 513 . . 3 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1211ralrimiva 3147 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
13 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1413ralimi 3084 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝐹)
15 dfss3 3971 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1614, 15sylibr 233 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
17 funfn 6579 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
18 fnssres 6674 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
1917, 18sylanb 582 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
2016, 19sylan2 594 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
21 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
227eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2321, 22imbitrrid 245 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵))
2423ralimia 3081 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2524adantl 483 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
26 fnfvrnss 7120 . . . . 5 (((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
2720, 25, 26syl2anc 585 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
28 df-f 6548 . . . 4 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵))
2920, 27, 28sylanbrc 584 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴):𝐴𝐵)
3029ex 414 . 2 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹𝐴):𝐴𝐵))
3112, 30impbid2 225 1 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  cin 3948  wss 3949  dom cdm 5677  ran crn 5678  cres 5679  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  inlresf  9909  inrresf  9911  oppccatf  17674  lmbr2  22763  lmff  22805  lmmbr2  24776  iscau2  24794  relogbf  26296  sseqf  33391  rpsqrtcn  33605  climrescn  44464  climxrrelem  44465  climxrre  44466  liminflimsupxrre  44533  xlimxrre  44547  fourierdlem97  44919
  Copyright terms: Public domain W3C validator