Theorem ffvresb 7134

Description: A necessary and sufficient condition for a restricted function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ffvresb	⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffvresb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴)
2		dmres 6008	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3		inss2 4136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
4	2, 3	eqsstri 3958	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
5	1, 4	eqsstrrdi 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6	5	sselda 3912	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7		fvres 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
9		ffvelcdm 7089	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
10	8, 9	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
11	6, 10	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
12	11	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
13		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
14	13	ralimi 3102	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝐹)
15		dfss3 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝐹)
16	14, 15	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
17		funfn 6578	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
18		fnssres 6670	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
19	17, 18	sylanb 593	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
20	16, 19	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22	7	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
23	21, 22	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵))
24	23	ralimia 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
26		fnfvrnss 7129	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵)
27	20, 25, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵)
28		df-f 6550	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵))
29	20, 27, 28	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
30	29	ex 418	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵))
31	12, 30	impbid2 229	1 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079   ⊆ wss 3899   ∩ cin 4091  dom cdm 5654  ran crn 5655   ↾ cres 5656  Fun wfun 6540   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554

This theorem is used by:  inlresf  10005  inrresf  10007  oppccatf  17914  lmbr2  23589  lmff  23631  lmmbr2  25592  iscau2  25610  relogbf  27131  sseqf  35077  rpsqrtcn  35275  climrescn  46897  climxrrelem  46898  climxrre  46899  liminflimsupxrre  46966  xlimxrre  46980  fourierdlem97  47352