Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem6 35034
Description: Lemma for erdsze 35040. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
Assertion
Ref Expression
erdszelem6 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem6
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 11332 . . . 4 < Or ℝ
21supex 9496 . . 3 sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ) ∈ V)
4 erdszelem.k . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < )))
6 eqid 2726 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}
76erdszelem2 35030 . . . 4 ((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}) ∈ Fin ∧ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}) ⊆ ℕ)
87simpri 484 . . 3 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}) ⊆ ℕ
9 erdsze.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 erdsze.f . . . 4 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
11 erdszelem.o . . . 4 𝑂 Or ℝ
129, 10, 4, 11erdszelem5 35033 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾𝑧) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}))
138, 12sselid 3976 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾𝑧) ∈ ℕ)
143, 5, 13fmpt2d 7127 1 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3946  𝒫 cpw 4597  cmpt 5226   Or wor 5583  cres 5674  cima 5675  wf 6539  1-1wf1 6540  cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8963  supcsup 9473  cr 11145  1c1 11147   < clt 11286  cn 12255  ...cfz 13529  chash 14339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9475  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-n0 12516  df-xnn0 12588  df-z 12602  df-uz 12866  df-fz 13530  df-hash 14340
This theorem is referenced by:  erdszelem7  35035  erdszelem8  35036  erdszelem9  35037
  Copyright terms: Public domain W3C validator