Theorem erdszelem6 35621

Description: Lemma for erdsze 35627. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem6	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11290	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	supex 9424	. . 3 ⊢ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ) ∈ V)
4		erdszelem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < )))
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
7	6	erdszelem2 35617	. . . 4 ⊢ ((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin ∧ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}) ⊆ ℕ)
8	7	simpri 490	. . 3 ⊢ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}) ⊆ ℕ
9		erdsze.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		erdsze.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
11		erdszelem.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 Or ℝ
12	9, 10, 4, 11	erdszelem5 35620	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾‘𝑧) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}))
13	8, 12	sselid 3943	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾‘𝑧) ∈ ℕ)
14	3, 5, 13	fmpt2d 7121	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   ↦ cmpt 5196   Or wor 5569   ↾ cres 5664   “ cima 5665  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  supcsup 9400  ℝcr 11099  1c1 11101   < clt 11243  ℕcn 12233  ...cfz 13535  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  erdszelem7  35622  erdszelem8  35623  erdszelem9  35624