Theorem erdszelem6 35696

Description: Lemma for erdsze 35702. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem6	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem erdszelem6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11294	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	supex 9420	. . 3 ⊢ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ) ∈ V)
4		erdszelem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < )))
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
7	6	erdszelem2 35692	. . . 4 ⊢ ((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin ∧ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}) ⊆ ℕ)
8	7	simpri 490	. . 3 ⊢ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}) ⊆ ℕ
9		erdsze.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		erdsze.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
11		erdszelem.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 Or ℝ
12	9, 10, 4, 11	erdszelem5 35695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾‘𝑧) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}))
13	8, 12	sselid 3935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾‘𝑧) ∈ ℕ)
14	3, 5, 13	fmpt2d 7120	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   ↦ cmpt 5192   Or wor 5568   ↾ cres 5663   “ cima 5664  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536   Isom wiso 6537  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  supcsup 9396  ℝcr 11103  1c1 11105   < clt 11247  ℕcn 12237  ...cfz 13539  ♯chash 14371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-hash 14372

This theorem is used by:  erdszelem7  35697  erdszelem8  35698  erdszelem9  35699