Theorem omsf 31846

Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
omsf	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12917	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 12630	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5472	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → < Or (0[,]+∞))
6		omscl 31845	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
7	6	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
8		xrge0infss 30671	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))𝑠 < 𝑤)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))𝑠 < 𝑤)))
10	5, 9	infcl 9038	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11		fex 7012	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
12	11	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ V)
13		omsval 31843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < )))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < )))
15		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝑉)
16		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
17		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
18		fdm 6524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
19	18	unieqd 4820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
20	19	pweqd 4517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 ∪ dom 𝑅 = 𝒫 ∪ 𝑄)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝒫 ∪ dom 𝑅 = 𝒫 ∪ 𝑄)
22	17, 21	eleqtrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
23		elpwi 4507	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄)
25		omsfval 31844	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
26	15, 16, 24, 25	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
27	26, 10	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	10, 14, 27	fmpt2d 6910	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4498  ∪ cuni 4806   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120   Or wor 5451  dom cdm 5535  ran crn 5536  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ωcom 7612   ≼ cdom 8566  infcinf 8991  0cc0 10628  +∞cpnf 10763  ℝ^*cxr 10765   < clt 10766  [,]cicc 12837  Σ^*cesum 31578  toOMeascoms 31841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-xadd 12604  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-ordt 16890  df-xrs 16891  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-ps 17939  df-tsr 17940  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-ntr 21784  df-nei 21862  df-cn 21991  df-haus 22079  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-tsms 22891  df-esum 31579  df-oms 31842

This theorem is referenced by:  omssubaddlem  31849  omssubadd  31850  omsmeas  31873