Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omsf 33910
Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
omsf ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
Proof of Theorem omsf
Dummy variables π‘Ž 𝑠 𝑑 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13433 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrltso 13146 . . . . 5 < Or ℝ*
3 soss 5604 . . . . 5 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ( < Or ℝ* β†’ < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ < Or (0[,]+∞))
6 omscl 33909 . . . . 5 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
763expa 1116 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
8 xrge0infss 32524 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) Β¬ 𝑀 < 𝑑 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (0[,]+∞)(𝑑 < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))𝑠 < 𝑀)))
97, 8syl 17 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) Β¬ 𝑀 < 𝑑 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (0[,]+∞)(𝑑 < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))𝑠 < 𝑀)))
105, 9infcl 9505 . 2 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11 fex 7232 . . . 4 ((𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ V)
1211ancoms 458 . . 3 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ 𝑅 ∈ V)
13 omsval 33907 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ (toOMeasβ€˜π‘…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↦ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < )))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↦ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < )))
15 simpll 766 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
16 simplr 768 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
17 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
18 fdm 6725 . . . . . . . . 9 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
1918unieqd 4916 . . . . . . . 8 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
2019pweqd 4615 . . . . . . 7 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 = 𝒫 βˆͺ 𝑄)
2120ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 = 𝒫 βˆͺ 𝑄)
2217, 21eleqtrd 2831 . . . . 5 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
23 elpwi 4605 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄)
25 omsfval 33908 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
2615, 16, 24, 25syl3anc 1369 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
2726, 10eqeltrd 2829 . 2 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2810, 14, 27fmpt2d 7128 1 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  {crab 3428  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Or wor 5583  dom cdm 5672  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7864   β‰Ό cdom 8955  infcinf 9458  0cc0 11132  +∞cpnf 11269  β„*cxr 11271   < clt 11272  [,]cicc 13353  Ξ£*cesum 33640  toOMeascoms 33905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-xadd 13119  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-ordt 17476  df-xrs 17477  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-ps 18551  df-tsr 18552  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-ntr 22917  df-nei 22995  df-cn 23124  df-haus 23212  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-tsms 24024  df-esum 33641  df-oms 33906
This theorem is referenced by:  omssubaddlem  33913  omssubadd  33914  omsmeas  33937
  Copyright terms: Public domain W3C validator