Theorem omsf 34480

Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
omsf	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13374	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13083	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5546	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → < Or (0[,]+∞))
6		omscl 34479	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
7	6	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
8		xrge0infss 32852	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))𝑠 < 𝑤)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))𝑠 < 𝑤)))
10	5, 9	infcl 9392	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11		fex 7170	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
12	11	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ V)
13		omsval 34477	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < )))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < )))
15		simpll 772	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝑉)
16		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
18		fdm 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
19	18	unieqd 4851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
20	19	pweqd 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 ∪ dom 𝑅 = 𝒫 ∪ 𝑄)
21	20	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝒫 ∪ dom 𝑅 = 𝒫 ∪ 𝑄)
22	17, 21	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
23		elpwi 4536	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄)
25		omsfval 34478	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
26	15, 16, 24, 25	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
27	26, 10	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	10, 14, 27	fmpt2d 7066	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   Or wor 5525  dom cdm 5618  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ωcom 7806   ≼ cdom 8881  infcinf 9344  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  [,]cicc 13292  Σ^*cesum 34211  toOMeascoms 34475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-ntr 23003  df-nei 23081  df-cn 23210  df-haus 23298  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-tsms 24110  df-esum 34212  df-oms 34476

This theorem is referenced by:  omssubaddlem  34483  omssubadd  34484  omsmeas  34507