Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsf 32953
Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
omsf ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf
Dummy variables π‘Ž 𝑠 𝑑 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13353 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrltso 13066 . . . . 5 < Or ℝ*
3 soss 5566 . . . . 5 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ( < Or ℝ* β†’ < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ < Or (0[,]+∞))
6 omscl 32952 . . . . 5 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
763expa 1119 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
8 xrge0infss 31712 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) Β¬ 𝑀 < 𝑑 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (0[,]+∞)(𝑑 < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))𝑠 < 𝑀)))
97, 8syl 17 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) Β¬ 𝑀 < 𝑑 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (0[,]+∞)(𝑑 < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))𝑠 < 𝑀)))
105, 9infcl 9429 . 2 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11 fex 7177 . . . 4 ((𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ V)
1211ancoms 460 . . 3 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ 𝑅 ∈ V)
13 omsval 32950 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ (toOMeasβ€˜π‘…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↦ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < )))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↦ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < )))
15 simpll 766 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
16 simplr 768 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
17 simpr 486 . . . . . 6 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
18 fdm 6678 . . . . . . . . 9 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
1918unieqd 4880 . . . . . . . 8 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
2019pweqd 4578 . . . . . . 7 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 = 𝒫 βˆͺ 𝑄)
2120ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 = 𝒫 βˆͺ 𝑄)
2217, 21eleqtrd 2836 . . . . 5 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
23 elpwi 4568 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄)
25 omsfval 32951 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
2615, 16, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
2726, 10eqeltrd 2834 . 2 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2810, 14, 27fmpt2d 7072 1 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Or wor 5545  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰Ό cdom 8884  infcinf 9382  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194  [,]cicc 13273  Ξ£*cesum 32683  toOMeascoms 32948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-xadd 13039  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-xrs 17389  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-esum 32684  df-oms 32949
This theorem is referenced by:  omssubaddlem  32956  omssubadd  32957  omsmeas  32980
  Copyright terms: Public domain W3C validator