Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsf 31846
Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
omsf ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf
Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12917 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12630 . . . . 5 < Or ℝ*
3 soss 5472 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → < Or (0[,]+∞))
6 omscl 31845 . . . . 5 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
763expa 1119 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
8 xrge0infss 30671 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))𝑠 < 𝑤)))
97, 8syl 17 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))𝑠 < 𝑤)))
105, 9infcl 9038 . 2 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11 fex 7012 . . . 4 ((𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑅 ∈ V)
1211ancoms 462 . . 3 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ V)
13 omsval 31843 . . 3 (𝑅 ∈ V → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < )))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < )))
15 simpll 767 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑄𝑉)
16 simplr 769 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
17 simpr 488 . . . . . 6 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 fdm 6524 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
1918unieqd 4820 . . . . . . . 8 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
2019pweqd 4517 . . . . . . 7 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
2120ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
2217, 21eleqtrd 2836 . . . . 5 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑄)
23 elpwi 4507 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑄𝑎 𝑄)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 𝑄)
25 omsfval 31844 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
2615, 16, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
2726, 10eqeltrd 2834 . 2 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2810, 14, 27fmpt2d 6910 1 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3400  wss 3853  𝒫 cpw 4498   cuni 4806   class class class wbr 5040  cmpt 5120   Or wor 5451  dom cdm 5535  ran crn 5536  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  ωcom 7612  cdom 8566  infcinf 8991  0cc0 10628  +∞cpnf 10763  *cxr 10765   < clt 10766  [,]cicc 12837  Σ*cesum 31578  toOMeascoms 31841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-xadd 12604  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-ordt 16890  df-xrs 16891  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-ps 17939  df-tsr 17940  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-ntr 21784  df-nei 21862  df-cn 21991  df-haus 22079  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-tsms 22891  df-esum 31579  df-oms 31842
This theorem is referenced by:  omssubaddlem  31849  omssubadd  31850  omsmeas  31873
  Copyright terms: Public domain W3C validator