Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsf 31441
Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
omsf ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf
Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12812 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12527 . . . . 5 < Or ℝ*
3 soss 5491 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → < Or (0[,]+∞))
6 omscl 31440 . . . . 5 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
763expa 1112 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
8 xrge0infss 30398 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))𝑠 < 𝑤)))
97, 8syl 17 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))𝑠 < 𝑤)))
105, 9infcl 8944 . 2 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11 fex 6987 . . . 4 ((𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑅 ∈ V)
1211ancoms 459 . . 3 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ V)
13 omsval 31438 . . 3 (𝑅 ∈ V → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < )))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < )))
15 simpll 763 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑄𝑉)
16 simplr 765 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
17 simpr 485 . . . . . 6 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 fdm 6518 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
1918unieqd 4846 . . . . . . . 8 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
2019pweqd 4546 . . . . . . 7 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
2120ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
2217, 21eleqtrd 2919 . . . . 5 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑄)
23 elpwi 4553 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑄𝑎 𝑄)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 𝑄)
25 omsfval 31439 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
2615, 16, 24, 25syl3anc 1365 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
2726, 10eqeltrd 2917 . 2 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2810, 14, 27fmpt2d 6882 1 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wral 3142  wrex 3143  {crab 3146  Vcvv 3499  wss 3939  𝒫 cpw 4541   cuni 4836   class class class wbr 5062  cmpt 5142   Or wor 5471  dom cdm 5553  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  cdom 8499  infcinf 8897  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  [,]cicc 12734  Σ*cesum 31173  toOMeascoms 31436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-xadd 12501  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-ntr 21544  df-nei 21622  df-cn 21751  df-haus 21839  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-tsms 22650  df-esum 31174  df-oms 31437
This theorem is referenced by:  omssubaddlem  31444  omssubadd  31445  omsmeas  31468
  Copyright terms: Public domain W3C validator