Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omsf 33787
Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
omsf ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
Proof of Theorem omsf
Dummy variables π‘Ž 𝑠 𝑑 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13405 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrltso 13118 . . . . 5 < Or ℝ*
3 soss 5599 . . . . 5 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ( < Or ℝ* β†’ < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ < Or (0[,]+∞))
6 omscl 33786 . . . . 5 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
763expa 1115 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
8 xrge0infss 32445 . . . 4 (ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) Β¬ 𝑀 < 𝑑 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (0[,]+∞)(𝑑 < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))𝑠 < 𝑀)))
97, 8syl 17 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) Β¬ 𝑀 < 𝑑 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (0[,]+∞)(𝑑 < 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))𝑠 < 𝑀)))
105, 9infcl 9480 . 2 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11 fex 7220 . . . 4 ((𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ V)
1211ancoms 458 . . 3 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ 𝑅 ∈ V)
13 omsval 33784 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ (toOMeasβ€˜π‘…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↦ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < )))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↦ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < )))
15 simpll 764 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
16 simplr 766 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
17 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
18 fdm 6717 . . . . . . . . 9 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
1918unieqd 4913 . . . . . . . 8 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
2019pweqd 4612 . . . . . . 7 (𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 = 𝒫 βˆͺ 𝑄)
2120ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 = 𝒫 βˆͺ 𝑄)
2217, 21eleqtrd 2827 . . . . 5 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
23 elpwi 4602 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄)
25 omsfval 33785 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
2615, 16, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
2726, 10eqeltrd 2825 . 2 (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2810, 14, 27fmpt2d 7116 1 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Or wor 5578  dom cdm 5667  ran crn 5668  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Ο‰com 7849   β‰Ό cdom 8934  infcinf 9433  0cc0 11107  +∞cpnf 11243  β„*cxr 11245   < clt 11246  [,]cicc 13325  Ξ£*cesum 33517  toOMeascoms 33782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-xadd 13091  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-ordt 17448  df-xrs 17449  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-ntr 22848  df-nei 22926  df-cn 23055  df-haus 23143  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-tsms 23955  df-esum 33518  df-oms 33783
This theorem is referenced by:  omssubaddlem  33790  omssubadd  33791  omsmeas  33814
  Copyright terms: Public domain W3C validator