Theorem omsf 34978

Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
omsf	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13568	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13277	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5579	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → < Or (0[,]+∞))
6		omscl 34977	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
7	6	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
8		xrge0infss 33402	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))𝑠 < 𝑤)))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))𝑠 < 𝑤)))
10	5, 9	infcl 9488	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11		fex 7236	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
12	11	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ V)
13		omsval 34975	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < )))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < )))
15		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝑉)
16		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
18		fdm 6724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
19	18	unieqd 4879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
20	19	pweqd 4573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 ∪ dom 𝑅 = 𝒫 ∪ 𝑄)
21	20	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝒫 ∪ dom 𝑅 = 𝒫 ∪ 𝑄)
22	17, 21	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
23		elpwi 4563	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄)
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄)
25		omsfval 34976	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
26	15, 16, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
27	26, 10	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	10, 14, 27	fmpt2d 7130	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Or wor 5558  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ωcom 7881   ≼ cdom 8979  infcinf 9440  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  [,]cicc 13486  Σ^*cesum 34709  toOMeascoms 34973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-ntr 23347  df-nei 23425  df-cn 23554  df-haus 23642  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tsms 24455  df-esum 34710  df-oms 34974

This theorem is used by:  omssubaddlem  34981  omssubadd  34982  omsmeas  35005