Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatf 21428
 Description: The matrix transformation is a function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
21, 1jca 515 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
32adantr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
4 mpoexga 7780 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑚𝑦))) ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑚𝑦))) ∈ V)
6 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
10 eqid 2758 . . 3 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
116, 7, 8, 9, 10mat2pmatfval 21423 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑚𝑦)))))
12 mat2pmatbas.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
13 mat2pmatbas0.h . . . 4 𝐻 = (Base‘𝐶)
146, 7, 8, 9, 12, 13mat2pmatbas0 21427 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝐵) → (𝑇𝑚) ∈ 𝐻)
15143expa 1115 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑇𝑚) ∈ 𝐻)
165, 11, 15fmpt2d 6878 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Fincfn 8527  Basecbs 16541  Ringcrg 19365  algSccascl 20617  Poly1cpl1 20901   Mat cmat 21107   matToPolyMat cmat2pmat 21404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-ascl 20620  df-psr 20671  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-psr1 20904  df-ply1 20906  df-mat 21108  df-mat2pmat 21407 This theorem is referenced by:  mat2pmatf1  21429  mat2pmatghm  21430  mat2pmatmhm  21433
 Copyright terms: Public domain W3C validator