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Theorem gg-dvcobr 35165
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 25456. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11187. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gg-dvco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
gg-dvco.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
gg-dvco.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
gg-dvco.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
gg-dvcobr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
gg-dvcobr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
gg-dvco.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
gg-dvco.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑉)
gg-dvco.bf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
gg-dvco.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
gg-dvco.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
gg-dvcobr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Proof of Theorem gg-dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gg-dvco.bg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2733 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt 𝑇) = (𝐽 β†Ύt 𝑇)
3 gg-dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2733 . . . . 5 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 gg-dvcobr.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
6 gg-dvco.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 gg-dvco.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 gg-dvcobr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8sstrd 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
106, 9fssd 6733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
11 gg-dvco.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 25407 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
131, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1413simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ))
15 gg-dvco.bf . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 gg-dvco.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
178, 16, 7dvcl 25408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1815, 17mpdan 686 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2016adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
22 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
266adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
275, 10, 11dvbss 25410 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑇 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
28 reldv 25379 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3326, 32ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3534adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3625, 35subcld 11568 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
3710ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
3821ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
3937, 38ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4031ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
4137, 40ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4239, 41subcld 11568 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
43 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))
4439, 41subeq0ad 11578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
4544necon3abid 2978 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) β‰  0 ↔ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
4643, 45mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) β‰  0)
4736, 42, 46divcld 11987 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
4819, 47ifclda 4563 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚)
4911, 5sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
5010, 49, 31dvlem 25405 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
51 ssidd 4005 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
523cnfldtopon 24291 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
53 txtopon 23087 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
5452, 52, 53mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
5554toponrestid 22415 . . . . . 6 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
5623anim1i 616 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)))
57 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)))
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}))
5958anasss 468 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  (πΊβ€˜πΆ))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}))
60 eldifsni 4793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 β‰  (πΊβ€˜πΆ))
61 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . 10 (𝑦 β‰  (πΊβ€˜πΆ) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
6362adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
646, 31ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
6516, 9, 64dvlem 25405 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
6663, 65eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)})) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚)
67 limcresi 25394 . . . . . . . . 9 (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢)
686feqmptd 6958 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
6968reseq1d 5979 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})))
70 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
71 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))
7369, 72eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
7473oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
7567, 74sseqtrid 4034 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
76 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
7776, 3gg-dvcnp2 35163 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
785, 10, 11, 30, 77syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
793, 76cnplimc 25396 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
8049, 31, 79syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
8178, 80mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
8281simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
8375, 82sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
84 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
85 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8684, 3, 85, 8, 16, 7eldv 25407 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))))
8715, 86mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))))
8887simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
8962mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
9089oveq1i 7416 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))
9188, 90eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– {(πΊβ€˜πΆ)}) ↦ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
92 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 = (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
93 fveq2 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
9493oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
95 oveq1 7413 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
9694, 95oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
9792, 96ifbieq2d 4554 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ if(𝑦 = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))))
98 iftrue 4534 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = 𝐾)
9998ad2antll 728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))) β†’ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = 𝐾)
10059, 66, 83, 91, 97, 99limcco 25402 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))) limβ„‚ 𝐢))
10113simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
1023mpomulcn 35151 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1035, 10, 11dvcl 25408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
1041, 103mpdan 686 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
10518, 104opelxpd 5714 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
10654toponunii 22410 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
107106cncnpi 22774 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
108102, 105, 107sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
10948, 50, 51, 51, 3, 55, 100, 101, 108limccnp2 25401 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
110 df-mpt 5232 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))}
111110oveq1i 7416 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢)
112109, 111eleqtrdi 2844 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) ∈ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢))
113 ovmul 35149 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐿 ∈ β„‚) β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) = (𝐾 Β· 𝐿))
11418, 104, 113syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝐿) = (𝐾 Β· 𝐿))
115 ovmul 35149 . . . . . . . . 9 ((if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) ∈ β„‚ ∧ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
11648, 50, 115syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
117116eqeq2d 2744 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) ↔ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
118117pm5.32da 580 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) ↔ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))))
119118opabbidv 5214 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))})
120 df-mpt 5232 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))}
121120eqcomi 2742 . . . . . . . 8 {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
122121eqeq2i 2746 . . . . . . 7 ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} ↔ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
123122biimpi 215 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
124123oveq1d 7421 . . . . 5 ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
125119, 124syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
126112, 114, 1253eltr3d 2848 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
127 oveq1 7413 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
128127eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (𝐾 = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ ((𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ↔ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
129 oveq1 7413 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
130129eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) β†’ (((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ↔ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
13119mul01d 11410 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· 0) = 0)
1329adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
133132, 23sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
134132, 33sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
135133, 134subeq0ad 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)))
136135biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0)
137136oveq1d 7421 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
13849adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
13921adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
140138, 139sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
141138, 32sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
142140, 141subcld 11568 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
143 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
145140, 141, 144subne0d 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
146142, 145div0d 11986 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
147146adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
148137, 147eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
149148oveq2d 7422 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝐾 Β· 0))
150 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
15124, 34subeq0ad 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0 ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
152150, 151imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0))
153152imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = 0)
154153oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (0 / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
155154, 147eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = 0)
156131, 149, 1553eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝐾 Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
157142adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
158145adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
15936, 42, 157, 46, 158dmdcan2d 12017 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ)) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
160128, 130, 156, 159ifbothda 4566 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
161 fvco3 6988 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
1626, 21, 161syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
1636, 31fvco3d 6989 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
164163adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
165162, 164oveq12d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
166165oveq1d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
167160, 166eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
168167mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
169168oveq1d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (if((πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ), 𝐾, (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
170126, 169eleqtrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
171 eqid 2733 . . 3 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
17216, 6fcod 6741 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
1732, 3, 171, 5, 172, 11eldv 25407 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
17414, 170, 173mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  β„‚cc 11105  0cc0 11107   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404  intcnt 22513   Cn ccn 22720   CnP ccnp 22721   Γ—t ctx 23056   limβ„‚ climc 25371   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-ntr 22516  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
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