MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzof 13693
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 13563 . . . 4 (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
2 ovex 7464 . . . . 5 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
32elpw 4609 . . . 4 ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
41, 3mpbir 231 . . 3 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
54rgen2w 3064 . 2 𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
6 df-fzo 13692 . . 3 ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
76fmpo 8092 . 2 (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
85, 7mpbi 230 1 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  𝒫 cpw 4605   × cxp 5687  wf 6559  (class class class)co 7431  1c1 11154  cmin 11490  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  elfzoel1  13694  elfzoel2  13695  elfzoelz  13696  fzoval  13697  fzofi  14012
  Copyright terms: Public domain W3C validator