MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzof 12675
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 12589 . . . . 5 (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑚)
2 uzssz 11906 . . . . 5 (ℤ𝑚) ⊆ ℤ
31, 2sstri 3770 . . . 4 (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
4 ovex 6874 . . . . 5 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
54elpw 4321 . . . 4 ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
63, 5mpbir 222 . . 3 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
76rgen2w 3072 . 2 𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
8 df-fzo 12674 . . 3 ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
98fmpt2 7438 . 2 (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
107, 9mpbi 221 1 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  wral 3055  wss 3732  𝒫 cpw 4315   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-neg 10523  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  elfzoel1  12676  elfzoel2  12677  elfzoelz  12678  fzoval  12679  fzofi  12981
  Copyright terms: Public domain W3C validator