MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzof 13696
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 13566 . . . 4 (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
2 ovex 7464 . . . . 5 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
32elpw 4604 . . . 4 ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
41, 3mpbir 231 . . 3 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
54rgen2w 3066 . 2 𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
6 df-fzo 13695 . . 3 ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
76fmpo 8093 . 2 (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
85, 7mpbi 230 1 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  wf 6557  (class class class)co 7431  1c1 11156  cmin 11492  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  elfzoel1  13697  elfzoel2  13698  elfzoelz  13699  fzoval  13700  fzofi  14015
  Copyright terms: Public domain W3C validator