MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzof 13025
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 12899 . . . 4 (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
2 ovex 7181 . . . . 5 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
32elpw 4549 . . . 4 ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
41, 3mpbir 232 . . 3 (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
54rgen2w 3156 . 2 𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
6 df-fzo 13024 . . 3 ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
76fmpo 7757 . 2 (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
85, 7mpbi 231 1 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wral 3143  wss 3940  𝒫 cpw 4542   × cxp 5552  wf 6348  (class class class)co 7148  1c1 10527  cmin 10859  cz 11970  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024
This theorem is referenced by:  elfzoel1  13026  elfzoel2  13027  elfzoelz  13028  fzoval  13029  fzofi  13332
  Copyright terms: Public domain W3C validator