Theorem fzof 13593

Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzof	⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 13463	. . . 4 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
2		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
3	2	elpw 4563	. . . 4 ⊢ ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
5	4	rgen2w 3049	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
6		df-fzo 13592	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
7	6	fmpo 8026	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
8	5, 7	mpbi 230	1 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  1c1 11045   − cmin 11381  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  elfzoel1  13594  elfzoel2  13595  elfzoelz  13596  fzoval  13597  fzofi  13915