Theorem fzof 13783

Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzof	⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 13651	. . . 4 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
2		ovex 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
3	2	elpw 4561	. . . 4 ⊢ ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
5	4	rgen2w 3082	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
6		df-fzo 13782	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
7	6	fmpo 8077	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
8	5, 7	mpbi 233	1 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   × cxp 5649  ⟶wf 6533  (class class class)co 7418  1c1 11194   − cmin 11534  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-neg 11537  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782

This theorem is used by:  elfzoel1  13784  elfzoel2  13785  elfzoelz  13786  fzoval  13787  fzofi  14110