Theorem elfzoel1 13605

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13604	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6674	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7545	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2960	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   × cxp 5623  (class class class)co 7361  ℤcz 12518  ..^cfzo 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-neg 11374  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13607  elfzo2  13610  elfzole1  13616  elfzolt2  13617  elfzolt3  13618  elfzolt3b  13620  fzospliti  13640  fzoaddel  13666  elincfzoext  13672  fzosubel  13673  fzosubel3  13675  fzofzp1  13713  fzom1ne1  13734  fzostep1  13735  fzomaxdiflem  15299  fzocongeq  16287  caratheodorylem1  46975  gpgedgvtx1  48553