MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel1 13026
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel1
StepHypRef Expression
1 ne0i 4304 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2 fzof 13025 . . . . . 6 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
32fdmi 6521 . . . . 5 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
43ndmov 7322 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
54necon1ai 3048 . . 3 ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
76simpld 495 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wne 3021  c0 4295  𝒫 cpw 4542   × cxp 5552  (class class class)co 7148  cz 11970  ..^cfzo 13023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024
This theorem is referenced by:  elfzoelz  13028  elfzo2  13031  elfzole1  13036  elfzolt2  13037  elfzolt3  13038  elfzolt3b  13040  fzospliti  13059  fzoaddel  13080  elincfzoext  13085  fzosubel  13086  fzosubel3  13088  fzofzp1  13124  fzostep1  13143  fzomaxdiflem  14692  fzocongeq  15664  fzom1ne1  30437  caratheodorylem1  42674
  Copyright terms: Public domain W3C validator