MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel1 13571
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel1 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ 𝐡 ∈ β„€)

Proof of Theorem elfzoel1
StepHypRef Expression
1 ne0i 4295 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ (𝐡..^𝐢) β‰  βˆ…)
2 fzof 13570 . . . . . 6 ..^:(β„€ Γ— β„€)βŸΆπ’« β„€
32fdmi 6681 . . . . 5 dom ..^ = (β„€ Γ— β„€)
43ndmov 7539 . . . 4 (Β¬ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€) β†’ (𝐡..^𝐢) = βˆ…)
54necon1ai 2972 . . 3 ((𝐡..^𝐢) β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€))
76simpld 496 1 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561   Γ— cxp 5632  (class class class)co 7358  β„€cz 12500  ..^cfzo 13568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569
This theorem is referenced by:  elfzoelz  13573  elfzo2  13576  elfzole1  13581  elfzolt2  13582  elfzolt3  13583  elfzolt3b  13585  fzospliti  13605  fzoaddel  13626  elincfzoext  13631  fzosubel  13632  fzosubel3  13634  fzofzp1  13670  fzostep1  13689  fzomaxdiflem  15228  fzocongeq  16207  fzom1ne1  31707  caratheodorylem1  44774
  Copyright terms: Public domain W3C validator