MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel1 13632
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel1 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ 𝐡 ∈ β„€)

Proof of Theorem elfzoel1
StepHypRef Expression
1 ne0i 4334 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ (𝐡..^𝐢) β‰  βˆ…)
2 fzof 13631 . . . . . 6 ..^:(β„€ Γ— β„€)βŸΆπ’« β„€
32fdmi 6729 . . . . 5 dom ..^ = (β„€ Γ— β„€)
43ndmov 7593 . . . 4 (Β¬ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€) β†’ (𝐡..^𝐢) = βˆ…)
54necon1ai 2968 . . 3 ((𝐡..^𝐢) β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€))
76simpld 495 1 (𝐴 ∈ (𝐡..^𝐢) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602   Γ— cxp 5674  (class class class)co 7411  β„€cz 12560  ..^cfzo 13629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-neg 11449  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630
This theorem is referenced by:  elfzoelz  13634  elfzo2  13637  elfzole1  13642  elfzolt2  13643  elfzolt3  13644  elfzolt3b  13646  fzospliti  13666  fzoaddel  13687  elincfzoext  13692  fzosubel  13693  fzosubel3  13695  fzofzp1  13731  fzostep1  13750  fzomaxdiflem  15291  fzocongeq  16269  fzom1ne1  32050  caratheodorylem1  45321
  Copyright terms: Public domain W3C validator