Theorem elfzoel1 13804

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13803	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6732	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7615	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2986	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   × cxp 5653  (class class class)co 7430  ℤcz 12706  ..^cfzo 13801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-neg 11557  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802

This theorem is used by:  elfzoelz  13806  elfzo2  13809  elfzole1  13815  elfzolt2  13816  elfzolt3  13817  elfzolt3b  13819  fzospliti  13839  fzoaddel  13865  elincfzoext  13871  fzosubel  13872  fzosubel3  13874  fzofzp1  13912  fzom1ne1  13933  fzostep1  13934  fzomaxdiflem  15525  fzocongeq  16509  caratheodorylem1  47678  gpgedgvtx1  49302