Theorem fzofi 13992

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13677	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13990	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13673	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6717	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7591	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9056	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  1c1 11130   − cmin 11466  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  uzindi  14000  fnfzo0hashnn0  14469  tpf1o  14519  wrdfin  14550  hashwrdn  14565  ccatalpha  14611  s7f1o  14985  telfsumo  15818  fsumparts  15822  geoserg  15882  pwdif  15884  bitsfi  16456  bitsinv1  16461  bitsinvp1  16468  sadcaddlem  16476  sadadd2lem  16478  sadadd3  16480  sadaddlem  16485  sadasslem  16489  sadeq  16491  crth  16797  phimullem  16798  eulerthlem2  16801  eulerth  16802  phisum  16810  prmgaplem3  17073  cshwshashnsame  17123  ablfaclem3  20070  ablfac2  20072  iunmbl  25506  volsup  25509  dvfsumle  25978  dvfsumleOLD  25979  dvfsumge  25980  dvfsumabs  25981  advlogexp  26616  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisum  27455  vdegp1bi  29517  eupthfi  30186  trlsegvdeglem6  30206  fz1nnct  32780  wrdfsupp  32912  cycpmconjslem2  33166  evl1deg2  33590  evl1deg3  33591  gsummoncoe1fzo  33607  ply1degltdimlem  33662  sigapildsys  34193  carsgclctunlem3  34352  ccatmulgnn0dir  34574  ofcccat  34575  signsplypnf  34582  signsvvf  34611  prodfzo03  34635  fsum2dsub  34639  reprle  34646  reprsuc  34647  reprfi  34648  reprlt  34651  hashreprin  34652  reprgt  34653  reprinfz1  34654  reprpmtf1o  34658  breprexplema  34662  breprexplemc  34664  breprexpnat  34666  circlemeth  34672  circlemethnat  34673  circlevma  34674  circlemethhgt  34675  hgt750lema  34689  lpadlem2  34712  mvrsfpw  35528  poimirlem26  37670  poimirlem27  37671  poimirlem28  37672  poimirlem30  37674  frlmfzowrdb  42527  frlmvscadiccat  42529  fltnltalem  42685  amgm2d  44222  amgm3d  44223  amgm4d  44224  fourierdlem25  46161  fourierdlem70  46205  fourierdlem71  46206  fourierdlem73  46208  fourierdlem79  46214  fourierdlem80  46215  meaiunlelem  46497  2pwp1prm  47603  gpgorder  48063  nn0sumshdiglemA  48599  nn0sumshdiglemB  48600  nn0mullong  48605  amgmw2d  49668