Theorem fzofi 13895

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13893	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13570	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6671	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7540	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8977	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552   × cxp 5620  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  1c1 11025   − cmin 11362  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  uzindi  13903  fnfzo0hashnn0  14372  tpf1o  14422  wrdfin  14453  hashwrdn  14468  ccatalpha  14515  s7f1o  14887  telfsumo  15723  fsumparts  15727  geoserg  15787  pwdif  15789  bitsfi  16362  bitsinv1  16367  bitsinvp1  16374  sadcaddlem  16382  sadadd2lem  16384  sadadd3  16386  sadaddlem  16391  sadasslem  16395  sadeq  16397  crth  16703  phimullem  16704  eulerthlem2  16707  eulerth  16708  phisum  16716  prmgaplem3  16979  cshwshashnsame  17029  ablfaclem3  20016  ablfac2  20018  iunmbl  25508  volsup  25511  dvfsumle  25980  dvfsumleOLD  25981  dvfsumge  25982  dvfsumabs  25983  advlogexp  26618  dchrisumlem1  27454  dchrisumlem2  27455  dchrisum  27457  vdegp1bi  29560  eupthfi  30229  trlsegvdeglem6  30249  fz1nnct  32830  wrdfsupp  32968  gsummulsubdishift1  33100  gsummulsubdishift2  33101  cycpmconjslem2  33186  evl1deg2  33607  evl1deg3  33608  gsummoncoe1fzo  33627  ply1degltdimlem  33728  sigapildsys  34268  carsgclctunlem3  34426  ccatmulgnn0dir  34648  ofcccat  34649  signsplypnf  34656  signsvvf  34685  prodfzo03  34709  fsum2dsub  34713  reprle  34720  reprsuc  34721  reprfi  34722  reprlt  34725  hashreprin  34726  reprgt  34727  reprinfz1  34728  reprpmtf1o  34732  breprexplema  34736  breprexplemc  34738  breprexpnat  34740  circlemeth  34746  circlemethnat  34747  circlevma  34748  circlemethhgt  34749  hgt750lema  34763  lpadlem2  34786  mvrsfpw  35649  poimirlem26  37786  poimirlem27  37787  poimirlem28  37788  poimirlem30  37790  frlmfzowrdb  42701  frlmvscadiccat  42703  fltnltalem  42847  amgm2d  44381  amgm3d  44382  amgm4d  44383  fourierdlem25  46318  fourierdlem70  46362  fourierdlem71  46363  fourierdlem73  46365  fourierdlem79  46371  fourierdlem80  46372  meaiunlelem  46654  2pwp1prm  47777  gpgorder  48247  nn0sumshdiglemA  48807  nn0sumshdiglemB  48808  nn0mullong  48813  amgmw2d  49991