Theorem fzofi 14157

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13834	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14155	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13830	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6751	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7637	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9108	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   × cxp 5656  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  1c1 11240   − cmin 11580  ℤcz 12733  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  uzindi  14165  fnfzo0hashnn0  14637  tpf1o  14687  wrdfin  14718  hashwrdn  14733  ccatalpha  14781  s7f1o  15162  telfsumo  16013  fsumparts  16017  geoserg  16079  pwdif  16081  bitsfi  16651  bitsinv1  16656  bitsinvp1  16663  sadcaddlem  16671  sadadd2lem  16673  sadadd3  16675  sadaddlem  16680  sadasslem  16684  sadeq  16686  crth  16999  phimullem  17000  eulerthlem2  17003  eulerth  17004  phisum  17012  prmgaplem3  17275  cshwshashnsame  17325  ablfaclem3  20354  ablfac2  20356  ehlbase  25791  ehleudis  25794  ehleudisval  25795  iunmbl  25929  volsup  25932  dvfsumle  26396  dvfsumge  26397  dvfsumabs  26398  advlogexp  27040  dchrisumlem1  27873  dchrisumlem2  27874  dchrisum  27876  vdegp1bi  30175  eupthfi  30863  trlsegvdeglem6  30883  fz1nnct  33489  wrdfsupp  33600  gsummulsubdishift1  33728  gsummulsubdishift2  33729  cycpmconjslem2  33815  evl1deg2  34212  evl1deg3  34213  gsummoncoe1fzo  34232  ply1degltdimlem  34365  sigapildsys  34906  carsgclctunlem3  35063  ccatmulgnn0dir  35285  ofcccat  35286  signsplypnf  35290  signsvvf  35319  prodfzo03  35343  fsum2dsub  35347  reprle  35354  reprsuc  35355  reprfi  35356  reprlt  35359  hashreprin  35360  reprgt  35361  reprinfz1  35362  reprpmtf1o  35366  breprexplema  35370  breprexplemc  35372  breprexpnat  35374  circlemeth  35380  circlemethnat  35381  circlevma  35382  circlemethhgt  35383  hgt750lema  35397  lpadlem2  35423  mvrsfpw  36479  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem28  38834  poimirlem30  38836  frlmfzowrdb  43837  frlmvscadiccat  43839  fltnltalem  43939  amgm2d  45459  amgm3d  45460  amgm4d  45461  fourierdlem25  47415  fourierdlem70  47459  fourierdlem71  47460  fourierdlem73  47462  fourierdlem79  47468  fourierdlem80  47469  meaiunlelem  47751  2pwp1prm  48947  gpgorder  49430  nn0sumshdiglemA  50062  nn0sumshdiglemB  50063  nn0mullong  50068  rrx2line  50183  2sphere  50192  amgmw2d  51417