Theorem fzofi 13909

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13907	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13584	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6681	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7552	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8991	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   × cxp 5630  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  1c1 11039   − cmin 11376  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  uzindi  13917  fnfzo0hashnn0  14386  tpf1o  14436  wrdfin  14467  hashwrdn  14482  ccatalpha  14529  s7f1o  14901  telfsumo  15737  fsumparts  15741  geoserg  15801  pwdif  15803  bitsfi  16376  bitsinv1  16381  bitsinvp1  16388  sadcaddlem  16396  sadadd2lem  16398  sadadd3  16400  sadaddlem  16405  sadasslem  16409  sadeq  16411  crth  16717  phimullem  16718  eulerthlem2  16721  eulerth  16722  phisum  16730  prmgaplem3  16993  cshwshashnsame  17043  ablfaclem3  20030  ablfac2  20032  iunmbl  25522  volsup  25525  dvfsumle  25994  dvfsumleOLD  25995  dvfsumge  25996  dvfsumabs  25997  advlogexp  26632  dchrisumlem1  27468  dchrisumlem2  27469  dchrisum  27471  vdegp1bi  29623  eupthfi  30292  trlsegvdeglem6  30312  fz1nnct  32892  wrdfsupp  33030  gsummulsubdishift1  33162  gsummulsubdishift2  33163  cycpmconjslem2  33249  evl1deg2  33670  evl1deg3  33671  gsummoncoe1fzo  33690  ply1degltdimlem  33800  sigapildsys  34340  carsgclctunlem3  34498  ccatmulgnn0dir  34720  ofcccat  34721  signsplypnf  34728  signsvvf  34757  prodfzo03  34781  fsum2dsub  34785  reprle  34792  reprsuc  34793  reprfi  34794  reprlt  34797  hashreprin  34798  reprgt  34799  reprinfz1  34800  reprpmtf1o  34804  breprexplema  34808  breprexplemc  34810  breprexpnat  34812  circlemeth  34818  circlemethnat  34819  circlevma  34820  circlemethhgt  34821  hgt750lema  34835  lpadlem2  34858  mvrsfpw  35722  poimirlem26  37897  poimirlem27  37898  poimirlem28  37899  poimirlem30  37901  frlmfzowrdb  42874  frlmvscadiccat  42876  fltnltalem  43020  amgm2d  44554  amgm3d  44555  amgm4d  44556  fourierdlem25  46490  fourierdlem70  46534  fourierdlem71  46535  fourierdlem73  46537  fourierdlem79  46543  fourierdlem80  46544  meaiunlelem  46826  2pwp1prm  47949  gpgorder  48419  nn0sumshdiglemA  48979  nn0sumshdiglemB  48980  nn0mullong  48985  amgmw2d  50163