Theorem fzofi 13196

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 12893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13194	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	syl6eqel 2893	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 12889	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6399	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7195	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 8599	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	syl6eqel 2893	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∅c0 4217  𝒫 cpw 4459   × cxp 5448  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  1c1 10391   − cmin 10723  ℤcz 11835  ...cfz 12746  ..^cfzo 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888

This theorem is referenced by:  uzindi  13204  fnfzo0hashnn0  13661  wrdfin  13732  hashwrdn  13748  ccatalpha  13795  telfsumo  14994  fsumparts  14998  geoserg  15058  pwdif  15060  bitsfi  15623  bitsinv1  15628  bitsinvp1  15635  sadcaddlem  15643  sadadd2lem  15645  sadadd3  15647  sadaddlem  15652  sadasslem  15656  sadeq  15658  crth  15948  phimullem  15949  eulerthlem2  15952  eulerth  15953  phisum  15960  prmgaplem3  16222  cshwshashnsame  16270  ablfaclem3  18930  ablfac2  18932  iunmbl  23841  volsup  23844  dvfsumle  24305  dvfsumge  24306  dvfsumabs  24307  advlogexp  24923  dchrisumlem1  25751  dchrisumlem2  25752  dchrisum  25754  vdegp1bi  27006  eupthfi  27670  trlsegvdeglem6  27690  fz1nnct  30206  cycpmconjslem2  30431  sigapildsys  31034  carsgclctunlem3  31191  ccatmulgnn0dir  31425  ofcccat  31426  signsplypnf  31433  signsvvf  31462  prodfzo03  31487  fsum2dsub  31491  reprle  31498  reprsuc  31499  reprfi  31500  reprlt  31503  hashreprin  31504  reprgt  31505  reprinfz1  31506  reprpmtf1o  31510  breprexplema  31514  breprexplemc  31516  breprexpnat  31518  circlemeth  31524  circlemethnat  31525  circlevma  31526  circlemethhgt  31527  hgt750lema  31541  lpadlem2  31564  mvrsfpw  32363  poimirlem26  34470  poimirlem27  34471  poimirlem28  34472  poimirlem30  34474  frlmfzowrdb  38691  frlmvscadiccat  38693  fltnltalem  38792  amgm2d  40058  amgm3d  40059  amgm4d  40060  fourierdlem25  41981  fourierdlem70  42025  fourierdlem71  42026  fourierdlem73  42028  fourierdlem79  42034  fourierdlem80  42035  meaiunlelem  42314  2pwp1prm  43255  nn0sumshdiglemA  44182  nn0sumshdiglemB  44183  nn0mullong  44188  amgmw2d  44407