Theorem fzofi 13987

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13665	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13985	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2870	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13661	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6703	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7580	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9023	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2870	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555   × cxp 5645  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  1c1 11074   − cmin 11414  ℤcz 12568  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  uzindi  13995  fnfzo0hashnn0  14464  tpf1o  14514  wrdfin  14545  hashwrdn  14560  ccatalpha  14607  s7f1o  14979  telfsumo  15830  fsumparts  15834  geoserg  15896  pwdif  15898  bitsfi  16471  bitsinv1  16476  bitsinvp1  16483  sadcaddlem  16491  sadadd2lem  16493  sadadd3  16495  sadaddlem  16500  sadasslem  16504  sadeq  16506  crth  16813  phimullem  16814  eulerthlem2  16817  eulerth  16818  phisum  16826  prmgaplem3  17089  cshwshashnsame  17139  ablfaclem3  20129  ablfac2  20131  iunmbl  25615  volsup  25618  dvfsumle  26083  dvfsumge  26084  dvfsumabs  26085  advlogexp  26720  dchrisumlem1  27553  dchrisumlem2  27554  dchrisum  27556  vdegp1bi  29738  eupthfi  30407  trlsegvdeglem6  30427  fz1nnct  33003  wrdfsupp  33115  gsummulsubdishift1  33248  gsummulsubdishift2  33249  cycpmconjslem2  33335  evl1deg2  33773  evl1deg3  33774  gsummoncoe1fzo  33793  ply1degltdimlem  33919  sigapildsys  34459  carsgclctunlem3  34617  ccatmulgnn0dir  34839  ofcccat  34840  signsplypnf  34844  signsvvf  34873  prodfzo03  34897  fsum2dsub  34901  reprle  34908  reprsuc  34909  reprfi  34910  reprlt  34913  hashreprin  34914  reprgt  34915  reprinfz1  34916  reprpmtf1o  34920  breprexplema  34924  breprexplemc  34926  breprexpnat  34928  circlemeth  34934  circlemethnat  34935  circlevma  34936  circlemethhgt  34937  hgt750lema  34951  lpadlem2  34977  mvrsfpw  35856  poimirlem26  38145  poimirlem27  38146  poimirlem28  38147  poimirlem30  38149  frlmfzowrdb  43126  frlmvscadiccat  43128  fltnltalem  43244  amgm2d  44774  amgm3d  44775  amgm4d  44776  fourierdlem25  46706  fourierdlem70  46750  fourierdlem71  46751  fourierdlem73  46753  fourierdlem79  46759  fourierdlem80  46760  meaiunlelem  47042  2pwp1prm  48198  gpgorder  48681  nn0sumshdiglemA  49241  nn0sumshdiglemB  49242  nn0mullong  49247  amgmw2d  50425