Theorem fzofi 13915

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13913	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13593	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6681	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7553	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8990	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  1c1 11045   − cmin 11381  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  uzindi  13923  fnfzo0hashnn0  14392  tpf1o  14442  wrdfin  14473  hashwrdn  14488  ccatalpha  14534  s7f1o  14908  telfsumo  15744  fsumparts  15748  geoserg  15808  pwdif  15810  bitsfi  16383  bitsinv1  16388  bitsinvp1  16395  sadcaddlem  16403  sadadd2lem  16405  sadadd3  16407  sadaddlem  16412  sadasslem  16416  sadeq  16418  crth  16724  phimullem  16725  eulerthlem2  16728  eulerth  16729  phisum  16737  prmgaplem3  17000  cshwshashnsame  17050  ablfaclem3  20003  ablfac2  20005  iunmbl  25487  volsup  25490  dvfsumle  25959  dvfsumleOLD  25960  dvfsumge  25961  dvfsumabs  25962  advlogexp  26597  dchrisumlem1  27433  dchrisumlem2  27434  dchrisum  27436  vdegp1bi  29518  eupthfi  30184  trlsegvdeglem6  30204  fz1nnct  32776  wrdfsupp  32908  cycpmconjslem2  33127  evl1deg2  33539  evl1deg3  33540  gsummoncoe1fzo  33556  ply1degltdimlem  33611  sigapildsys  34145  carsgclctunlem3  34304  ccatmulgnn0dir  34526  ofcccat  34527  signsplypnf  34534  signsvvf  34563  prodfzo03  34587  fsum2dsub  34591  reprle  34598  reprsuc  34599  reprfi  34600  reprlt  34603  hashreprin  34604  reprgt  34605  reprinfz1  34606  reprpmtf1o  34610  breprexplema  34614  breprexplemc  34616  breprexpnat  34618  circlemeth  34624  circlemethnat  34625  circlevma  34626  circlemethhgt  34627  hgt750lema  34641  lpadlem2  34664  mvrsfpw  35486  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem28  37635  poimirlem30  37637  frlmfzowrdb  42485  frlmvscadiccat  42487  fltnltalem  42643  amgm2d  44180  amgm3d  44181  amgm4d  44182  fourierdlem25  46123  fourierdlem70  46167  fourierdlem71  46168  fourierdlem73  46170  fourierdlem79  46176  fourierdlem80  46177  meaiunlelem  46459  2pwp1prm  47583  gpgorder  48043  nn0sumshdiglemA  48601  nn0sumshdiglemB  48602  nn0mullong  48607  amgmw2d  49786