Theorem fzofi 14006

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13684	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14004	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13680	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6717	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7594	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9035	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562   × cxp 5659  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  1c1 11096   − cmin 11436  ℤcz 12586  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  uzindi  14014  fnfzo0hashnn0  14484  tpf1o  14534  wrdfin  14565  hashwrdn  14580  ccatalpha  14627  s7f1o  14999  telfsumo  15850  fsumparts  15854  geoserg  15916  pwdif  15918  bitsfi  16490  bitsinv1  16495  bitsinvp1  16502  sadcaddlem  16510  sadadd2lem  16512  sadadd3  16514  sadaddlem  16519  sadasslem  16523  sadeq  16525  crth  16832  phimullem  16833  eulerthlem2  16836  eulerth  16837  phisum  16845  prmgaplem3  17108  cshwshashnsame  17158  ablfaclem3  20154  ablfac2  20156  iunmbl  25712  volsup  25715  dvfsumle  26180  dvfsumge  26181  dvfsumabs  26182  advlogexp  26820  dchrisumlem1  27653  dchrisumlem2  27654  dchrisum  27656  vdegp1bi  29887  eupthfi  30556  trlsegvdeglem6  30576  fz1nnct  33146  wrdfsupp  33257  gsummulsubdishift1  33388  gsummulsubdishift2  33389  cycpmconjslem2  33475  evl1deg2  33867  evl1deg3  33868  gsummoncoe1fzo  33887  ply1degltdimlem  34012  sigapildsys  34552  carsgclctunlem3  34710  ccatmulgnn0dir  34932  ofcccat  34933  signsplypnf  34937  signsvvf  34966  prodfzo03  34990  fsum2dsub  34994  reprle  35001  reprsuc  35002  reprfi  35003  reprlt  35006  hashreprin  35007  reprgt  35008  reprinfz1  35009  reprpmtf1o  35013  breprexplema  35017  breprexplemc  35019  breprexpnat  35021  circlemeth  35027  circlemethnat  35028  circlevma  35029  circlemethhgt  35030  hgt750lema  35044  lpadlem2  35070  mvrsfpw  35998  poimirlem26  38317  poimirlem27  38318  poimirlem28  38319  poimirlem30  38321  frlmfzowrdb  43298  frlmvscadiccat  43300  fltnltalem  43414  amgm2d  44944  amgm3d  44945  amgm4d  44946  fourierdlem25  46866  fourierdlem70  46910  fourierdlem71  46911  fourierdlem73  46913  fourierdlem79  46919  fourierdlem80  46920  meaiunlelem  47202  2pwp1prm  48361  gpgorder  48844  nn0sumshdiglemA  49419  nn0sumshdiglemB  49420  nn0mullong  49425  amgmw2d  50671