Theorem fzofi 14127

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14125	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13800	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6729	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7612	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9081	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559   × cxp 5652  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  1c1 11211   − cmin 11551  ℤcz 12703  ...cfz 13649  ..^cfzo 13798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799

This theorem is used by:  uzindi  14135  fnfzo0hashnn0  14606  tpf1o  14656  wrdfin  14687  hashwrdn  14702  ccatalpha  14750  s7f1o  15131  telfsumo  15981  fsumparts  15985  geoserg  16047  pwdif  16049  bitsfi  16619  bitsinv1  16624  bitsinvp1  16631  sadcaddlem  16639  sadadd2lem  16641  sadadd3  16643  sadaddlem  16648  sadasslem  16652  sadeq  16654  crth  16967  phimullem  16968  eulerthlem2  16971  eulerth  16972  phisum  16980  prmgaplem3  17243  cshwshashnsame  17293  ablfaclem3  20315  ablfac2  20317  ehlbase  25748  ehleudis  25751  ehleudisval  25752  iunmbl  25886  volsup  25889  dvfsumle  26353  dvfsumge  26354  dvfsumabs  26355  advlogexp  26995  dchrisumlem1  27828  dchrisumlem2  27829  dchrisum  27831  vdegp1bi  30130  eupthfi  30818  trlsegvdeglem6  30838  fz1nnct  33446  wrdfsupp  33557  gsummulsubdishift1  33682  gsummulsubdishift2  33683  cycpmconjslem2  33769  evl1deg2  34162  evl1deg3  34163  gsummoncoe1fzo  34182  ply1degltdimlem  34307  sigapildsys  34848  carsgclctunlem3  35005  ccatmulgnn0dir  35227  ofcccat  35228  signsplypnf  35232  signsvvf  35261  prodfzo03  35285  fsum2dsub  35289  reprle  35296  reprsuc  35297  reprfi  35298  reprlt  35301  hashreprin  35302  reprgt  35303  reprinfz1  35304  reprpmtf1o  35308  breprexplema  35312  breprexplemc  35314  breprexpnat  35316  circlemeth  35322  circlemethnat  35323  circlevma  35324  circlemethhgt  35325  hgt750lema  35339  lpadlem2  35365  mvrsfpw  36392  poimirlem26  38704  poimirlem27  38705  poimirlem28  38706  poimirlem30  38708  frlmfzowrdb  43711  frlmvscadiccat  43713  fltnltalem  43813  amgm2d  45338  amgm3d  45339  amgm4d  45340  fourierdlem25  47281  fourierdlem70  47325  fourierdlem71  47326  fourierdlem73  47328  fourierdlem79  47334  fourierdlem80  47335  meaiunlelem  47617  2pwp1prm  48813  gpgorder  49296  nn0sumshdiglemA  49870  nn0sumshdiglemB  49871  nn0mullong  49876  rrx2line  49991  2sphere  50000  amgmw2d  51203