MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 13004
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 12702 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21adantl 469 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3 fzfi 13002 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
42, 3syl6eqel 2904 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 12698 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
65fdmi 6273 . . . 4 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
76ndmov 7055 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8 0fin 8434 . . 3 ∅ ∈ Fin
97, 8syl6eqel 2904 . 2 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 176 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  c0 4127  𝒫 cpw 4362   × cxp 5320  (class class class)co 6881  Fincfn 8199  1c1 10229  cmin 10558  cz 11650  ...cfz 12556  ..^cfzo 12696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-fz 12557  df-fzo 12697
This theorem is referenced by:  uzindi  13012  fnfzo0hashnn0  13459  wrdfin  13541  hashwrdn  13555  ccatalpha  13597  telfsumo  14763  fsumparts  14767  geoserg  14827  bitsfi  15385  bitsinv1  15390  bitsinvp1  15397  sadcaddlem  15405  sadadd2lem  15407  sadadd3  15409  sadaddlem  15414  sadasslem  15418  sadeq  15420  crth  15707  phimullem  15708  eulerthlem2  15711  eulerth  15712  phisum  15719  prmgaplem3  15981  cshwshashnsame  16029  ablfaclem3  18695  ablfac2  18697  iunmbl  23544  volsup  23547  dvfsumle  24008  dvfsumge  24009  dvfsumabs  24010  advlogexp  24625  dchrisumlem1  25402  dchrisumlem2  25403  dchrisum  25405  vdegp1bi  26671  eupthfi  27388  trlsegvdeglem6  27408  fz1nnct  29897  sigapildsys  30560  carsgclctunlem3  30717  ccatmulgnn0dir  30954  ofcccat  30955  signsplypnf  30962  signsvvf  30991  prodfzo03  31016  fsum2dsub  31020  reprle  31027  reprsuc  31028  reprfi  31029  reprlt  31032  hashreprin  31033  reprgt  31034  reprinfz1  31035  reprpmtf1o  31039  breprexplema  31043  breprexplemc  31045  breprexpnat  31047  circlemeth  31053  circlemethnat  31054  circlevma  31055  circlemethhgt  31056  hgt750lema  31070  mvrsfpw  31735  poimirlem26  33754  poimirlem27  33755  poimirlem28  33756  poimirlem30  33758  amgm2d  39006  amgm3d  39007  amgm4d  39008  fourierdlem25  40833  fourierdlem70  40877  fourierdlem71  40878  fourierdlem73  40880  fourierdlem79  40886  fourierdlem80  40887  meaiunlelem  41169  pwdif  42081  2pwp1prm  42083  nn0sumshdiglemA  42986  nn0sumshdiglemB  42987  nn0mullong  42992  amgmw2d  43126
  Copyright terms: Public domain W3C validator