Theorem fzofi 14039

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13716	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14037	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13712	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6715	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7599	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9050	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   × cxp 5653  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  1c1 11126   − cmin 11466  ℤcz 12616  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711

This theorem is used by:  uzindi  14047  fnfzo0hashnn0  14517  tpf1o  14567  wrdfin  14598  hashwrdn  14613  ccatalpha  14661  s7f1o  15040  telfsumo  15890  fsumparts  15894  geoserg  15956  pwdif  15958  bitsfi  16528  bitsinv1  16533  bitsinvp1  16540  sadcaddlem  16548  sadadd2lem  16550  sadadd3  16552  sadaddlem  16557  sadasslem  16561  sadeq  16563  crth  16870  phimullem  16871  eulerthlem2  16874  eulerth  16875  phisum  16883  prmgaplem3  17146  cshwshashnsame  17196  ablfaclem3  20217  ablfac2  20219  iunmbl  25782  volsup  25785  dvfsumle  26249  dvfsumge  26250  dvfsumabs  26251  advlogexp  26893  dchrisumlem1  27726  dchrisumlem2  27727  dchrisum  27729  vdegp1bi  29998  eupthfi  30686  trlsegvdeglem6  30706  fz1nnct  33273  wrdfsupp  33384  gsummulsubdishift1  33509  gsummulsubdishift2  33510  cycpmconjslem2  33596  evl1deg2  33988  evl1deg3  33989  gsummoncoe1fzo  34008  ply1degltdimlem  34133  sigapildsys  34674  carsgclctunlem3  34832  ccatmulgnn0dir  35054  ofcccat  35055  signsplypnf  35059  signsvvf  35088  prodfzo03  35112  fsum2dsub  35116  reprle  35123  reprsuc  35124  reprfi  35125  reprlt  35128  hashreprin  35129  reprgt  35130  reprinfz1  35131  reprpmtf1o  35135  breprexplema  35139  breprexplemc  35141  breprexpnat  35143  circlemeth  35149  circlemethnat  35150  circlevma  35151  circlemethhgt  35152  hgt750lema  35166  lpadlem2  35192  mvrsfpw  36086  poimirlem26  38396  poimirlem27  38397  poimirlem28  38398  poimirlem30  38400  frlmfzowrdb  43393  frlmvscadiccat  43395  fltnltalem  43509  amgm2d  45039  amgm3d  45040  amgm4d  45041  fourierdlem25  46961  fourierdlem70  47005  fourierdlem71  47006  fourierdlem73  47008  fourierdlem79  47014  fourierdlem80  47015  meaiunlelem  47297  2pwp1prm  48493  gpgorder  48976  nn0sumshdiglemA  49550  nn0sumshdiglemB  49551  nn0mullong  49556  amgmw2d  50823