Theorem fzofi 14015

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13700	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14013	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13696	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6747	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7617	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9082	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   − cmin 11492  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  uzindi  14023  fnfzo0hashnn0  14490  tpf1o  14540  wrdfin  14570  hashwrdn  14585  ccatalpha  14631  s7f1o  15005  telfsumo  15838  fsumparts  15842  geoserg  15902  pwdif  15904  bitsfi  16474  bitsinv1  16479  bitsinvp1  16486  sadcaddlem  16494  sadadd2lem  16496  sadadd3  16498  sadaddlem  16503  sadasslem  16507  sadeq  16509  crth  16815  phimullem  16816  eulerthlem2  16819  eulerth  16820  phisum  16828  prmgaplem3  17091  cshwshashnsame  17141  ablfaclem3  20107  ablfac2  20109  iunmbl  25588  volsup  25591  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  advlogexp  26697  dchrisumlem1  27533  dchrisumlem2  27534  dchrisum  27536  vdegp1bi  29555  eupthfi  30224  trlsegvdeglem6  30244  fz1nnct  32805  wrdfsupp  32921  cycpmconjslem2  33175  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  gsummoncoe1fzo  33618  ply1degltdimlem  33673  sigapildsys  34163  carsgclctunlem3  34322  ccatmulgnn0dir  34557  ofcccat  34558  signsplypnf  34565  signsvvf  34594  prodfzo03  34618  fsum2dsub  34622  reprle  34629  reprsuc  34630  reprfi  34631  reprlt  34634  hashreprin  34635  reprgt  34636  reprinfz1  34637  reprpmtf1o  34641  breprexplema  34645  breprexplemc  34647  breprexpnat  34649  circlemeth  34655  circlemethnat  34656  circlevma  34657  circlemethhgt  34658  hgt750lema  34672  lpadlem2  34695  mvrsfpw  35511  poimirlem26  37653  poimirlem27  37654  poimirlem28  37655  poimirlem30  37657  frlmfzowrdb  42514  frlmvscadiccat  42516  fltnltalem  42672  amgm2d  44211  amgm3d  44212  amgm4d  44213  fourierdlem25  46147  fourierdlem70  46191  fourierdlem71  46192  fourierdlem73  46194  fourierdlem79  46200  fourierdlem80  46201  meaiunlelem  46483  2pwp1prm  47576  gpgorder  48013  nn0sumshdiglemA  48540  nn0sumshdiglemB  48541  nn0mullong  48546  amgmw2d  49323