MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 13878
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 13572 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3 fzfi 13876 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
42, 3eqeltrdi 2846 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 13568 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
65fdmi 6680 . . . 4 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
76ndmov 7537 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8 0fin 9114 . . 3 ∅ ∈ Fin
97, 8eqeltrdi 2846 . 2 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 182 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4282  𝒫 cpw 4560   × cxp 5631  (class class class)co 7356  Fincfn 8882  1c1 11051  cmin 11384  cz 12498  ...cfz 13423  ..^cfzo 13566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567
This theorem is referenced by:  uzindi  13886  fnfzo0hashnn0  14347  wrdfin  14419  hashwrdn  14434  ccatalpha  14480  telfsumo  15686  fsumparts  15690  geoserg  15750  pwdif  15752  bitsfi  16316  bitsinv1  16321  bitsinvp1  16328  sadcaddlem  16336  sadadd2lem  16338  sadadd3  16340  sadaddlem  16345  sadasslem  16349  sadeq  16351  crth  16649  phimullem  16650  eulerthlem2  16653  eulerth  16654  phisum  16661  prmgaplem3  16924  cshwshashnsame  16975  ablfaclem3  19864  ablfac2  19866  iunmbl  24915  volsup  24918  dvfsumle  25383  dvfsumge  25384  dvfsumabs  25385  advlogexp  26008  dchrisumlem1  26835  dchrisumlem2  26836  dchrisum  26838  vdegp1bi  28432  eupthfi  29096  trlsegvdeglem6  29116  fz1nnct  31650  cycpmconjslem2  31948  sigapildsys  32701  carsgclctunlem3  32860  ccatmulgnn0dir  33094  ofcccat  33095  signsplypnf  33102  signsvvf  33131  prodfzo03  33156  fsum2dsub  33160  reprle  33167  reprsuc  33168  reprfi  33169  reprlt  33172  hashreprin  33173  reprgt  33174  reprinfz1  33175  reprpmtf1o  33179  breprexplema  33183  breprexplemc  33185  breprexpnat  33187  circlemeth  33193  circlemethnat  33194  circlevma  33195  circlemethhgt  33196  hgt750lema  33210  lpadlem2  33233  mvrsfpw  34040  poimirlem26  36094  poimirlem27  36095  poimirlem28  36096  poimirlem30  36098  frlmfzowrdb  40668  frlmvscadiccat  40670  fltnltalem  40977  amgm2d  42452  amgm3d  42453  amgm4d  42454  fourierdlem25  44344  fourierdlem70  44388  fourierdlem71  44389  fourierdlem73  44391  fourierdlem79  44397  fourierdlem80  44398  meaiunlelem  44680  2pwp1prm  45752  nn0sumshdiglemA  46676  nn0sumshdiglemB  46677  nn0mullong  46682  amgmw2d  47222
  Copyright terms: Public domain W3C validator