MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 13888
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 13582 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)))
21adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)))
3 fzfi 13886 . . 3 (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin
42, 3eqeltrdi 2842 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 13578 . . . . 5 ..^:(β„€ Γ— β„€)βŸΆπ’« β„€
65fdmi 6684 . . . 4 dom ..^ = (β„€ Γ— β„€)
76ndmov 7542 . . 3 (Β¬ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀..^𝑁) = βˆ…)
8 0fin 9121 . . 3 βˆ… ∈ Fin
97, 8eqeltrdi 2842 . 2 (Β¬ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 182 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564   Γ— cxp 5635  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  1c1 11060   βˆ’ cmin 11393  β„€cz 12507  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577
This theorem is referenced by:  uzindi  13896  fnfzo0hashnn0  14357  wrdfin  14429  hashwrdn  14444  ccatalpha  14490  telfsumo  15695  fsumparts  15699  geoserg  15759  pwdif  15761  bitsfi  16325  bitsinv1  16330  bitsinvp1  16337  sadcaddlem  16345  sadadd2lem  16347  sadadd3  16349  sadaddlem  16354  sadasslem  16358  sadeq  16360  crth  16658  phimullem  16659  eulerthlem2  16662  eulerth  16663  phisum  16670  prmgaplem3  16933  cshwshashnsame  16984  ablfaclem3  19874  ablfac2  19876  iunmbl  24940  volsup  24943  dvfsumle  25408  dvfsumge  25409  dvfsumabs  25410  advlogexp  26033  dchrisumlem1  26860  dchrisumlem2  26861  dchrisum  26863  vdegp1bi  28534  eupthfi  29198  trlsegvdeglem6  29218  fz1nnct  31760  cycpmconjslem2  32060  gsummoncoe1fzo  32345  ply1degltdimlem  32381  sigapildsys  32825  carsgclctunlem3  32984  ccatmulgnn0dir  33218  ofcccat  33219  signsplypnf  33226  signsvvf  33255  prodfzo03  33280  fsum2dsub  33284  reprle  33291  reprsuc  33292  reprfi  33293  reprlt  33296  hashreprin  33297  reprgt  33298  reprinfz1  33299  reprpmtf1o  33303  breprexplema  33307  breprexplemc  33309  breprexpnat  33311  circlemeth  33317  circlemethnat  33318  circlevma  33319  circlemethhgt  33320  hgt750lema  33334  lpadlem2  33357  mvrsfpw  34164  poimirlem26  36154  poimirlem27  36155  poimirlem28  36156  poimirlem30  36158  frlmfzowrdb  40728  frlmvscadiccat  40730  fltnltalem  41047  amgm2d  42563  amgm3d  42564  amgm4d  42565  fourierdlem25  44463  fourierdlem70  44507  fourierdlem71  44508  fourierdlem73  44510  fourierdlem79  44516  fourierdlem80  44517  meaiunlelem  44799  2pwp1prm  45871  nn0sumshdiglemA  46795  nn0sumshdiglemB  46796  nn0mullong  46801  amgmw2d  47341
  Copyright terms: Public domain W3C validator