Theorem fzofi 13927

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13605	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13925	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13601	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6666	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7540	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8979	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529   × cxp 5616  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  1c1 11030   − cmin 11368  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  uzindi  13935  fnfzo0hashnn0  14404  tpf1o  14454  wrdfin  14485  hashwrdn  14500  ccatalpha  14547  s7f1o  14919  telfsumo  15756  fsumparts  15760  geoserg  15822  pwdif  15824  bitsfi  16397  bitsinv1  16402  bitsinvp1  16409  sadcaddlem  16417  sadadd2lem  16419  sadadd3  16421  sadaddlem  16426  sadasslem  16430  sadeq  16432  crth  16739  phimullem  16740  eulerthlem2  16743  eulerth  16744  phisum  16752  prmgaplem3  17015  cshwshashnsame  17065  ablfaclem3  20055  ablfac2  20057  iunmbl  25538  volsup  25541  dvfsumle  26006  dvfsumge  26007  dvfsumabs  26008  advlogexp  26637  dchrisumlem1  27470  dchrisumlem2  27471  dchrisum  27473  vdegp1bi  29624  eupthfi  30293  trlsegvdeglem6  30313  fz1nnct  32893  wrdfsupp  33016  gsummulsubdishift1  33149  gsummulsubdishift2  33150  cycpmconjslem2  33236  evl1deg2  33660  evl1deg3  33661  gsummoncoe1fzo  33680  ply1degltdimlem  33806  sigapildsys  34346  carsgclctunlem3  34504  ccatmulgnn0dir  34726  ofcccat  34727  signsplypnf  34734  signsvvf  34763  prodfzo03  34787  fsum2dsub  34791  reprle  34798  reprsuc  34799  reprfi  34800  reprlt  34803  hashreprin  34804  reprgt  34805  reprinfz1  34806  reprpmtf1o  34810  breprexplema  34814  breprexplemc  34816  breprexpnat  34818  circlemeth  34824  circlemethnat  34825  circlevma  34826  circlemethhgt  34827  hgt750lema  34841  lpadlem2  34864  mvrsfpw  35734  poimirlem26  38013  poimirlem27  38014  poimirlem28  38015  poimirlem30  38017  frlmfzowrdb  42994  frlmvscadiccat  42996  fltnltalem  43112  amgm2d  44642  amgm3d  44643  amgm4d  44644  fourierdlem25  46575  fourierdlem70  46619  fourierdlem71  46620  fourierdlem73  46622  fourierdlem79  46628  fourierdlem80  46629  meaiunlelem  46911  2pwp1prm  48067  gpgorder  48550  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111  nn0mullong  49116  amgmw2d  50294