Theorem fzofi 13939

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13937	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13617	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6699	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7573	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9013	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563   × cxp 5636  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  1c1 11069   − cmin 11405  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  uzindi  13947  fnfzo0hashnn0  14416  tpf1o  14466  wrdfin  14497  hashwrdn  14512  ccatalpha  14558  s7f1o  14932  telfsumo  15768  fsumparts  15772  geoserg  15832  pwdif  15834  bitsfi  16407  bitsinv1  16412  bitsinvp1  16419  sadcaddlem  16427  sadadd2lem  16429  sadadd3  16431  sadaddlem  16436  sadasslem  16440  sadeq  16442  crth  16748  phimullem  16749  eulerthlem2  16752  eulerth  16753  phisum  16761  prmgaplem3  17024  cshwshashnsame  17074  ablfaclem3  20019  ablfac2  20021  iunmbl  25454  volsup  25457  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumge  25928  dvfsumabs  25929  advlogexp  26564  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  dchrisum  27403  vdegp1bi  29465  eupthfi  30134  trlsegvdeglem6  30154  fz1nnct  32726  wrdfsupp  32858  cycpmconjslem2  33112  evl1deg2  33546  evl1deg3  33547  gsummoncoe1fzo  33563  ply1degltdimlem  33618  sigapildsys  34152  carsgclctunlem3  34311  ccatmulgnn0dir  34533  ofcccat  34534  signsplypnf  34541  signsvvf  34570  prodfzo03  34594  fsum2dsub  34598  reprle  34605  reprsuc  34606  reprfi  34607  reprlt  34610  hashreprin  34611  reprgt  34612  reprinfz1  34613  reprpmtf1o  34617  breprexplema  34621  breprexplemc  34623  breprexpnat  34625  circlemeth  34631  circlemethnat  34632  circlevma  34633  circlemethhgt  34634  hgt750lema  34648  lpadlem2  34671  mvrsfpw  35493  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem28  37642  poimirlem30  37644  frlmfzowrdb  42492  frlmvscadiccat  42494  fltnltalem  42650  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  fourierdlem25  46130  fourierdlem70  46174  fourierdlem71  46175  fourierdlem73  46177  fourierdlem79  46183  fourierdlem80  46184  meaiunlelem  46466  2pwp1prm  47590  gpgorder  48050  nn0sumshdiglemA  48608  nn0sumshdiglemB  48609  nn0mullong  48614  amgmw2d  49793