Theorem fzofi 13404

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13101	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13402	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2860	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13097	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6514	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7334	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 8753	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2860	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 185	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497   × cxp 5526  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  1c1 10589   − cmin 10921  ℤcz 12033  ...cfz 12952  ..^cfzo 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096

This theorem is referenced by:  uzindi  13412  fnfzo0hashnn0  13872  wrdfin  13944  hashwrdn  13959  ccatalpha  14007  telfsumo  15218  fsumparts  15222  geoserg  15282  pwdif  15284  bitsfi  15849  bitsinv1  15854  bitsinvp1  15861  sadcaddlem  15869  sadadd2lem  15871  sadadd3  15873  sadaddlem  15878  sadasslem  15882  sadeq  15884  crth  16183  phimullem  16184  eulerthlem2  16187  eulerth  16188  phisum  16195  prmgaplem3  16457  cshwshashnsame  16508  ablfaclem3  19290  ablfac2  19292  iunmbl  24266  volsup  24269  dvfsumle  24733  dvfsumge  24734  dvfsumabs  24735  advlogexp  25358  dchrisumlem1  26185  dchrisumlem2  26186  dchrisum  26188  vdegp1bi  27439  eupthfi  28102  trlsegvdeglem6  28122  fz1nnct  30660  cycpmconjslem2  30960  sigapildsys  31661  carsgclctunlem3  31818  ccatmulgnn0dir  32052  ofcccat  32053  signsplypnf  32060  signsvvf  32089  prodfzo03  32114  fsum2dsub  32118  reprle  32125  reprsuc  32126  reprfi  32127  reprlt  32130  hashreprin  32131  reprgt  32132  reprinfz1  32133  reprpmtf1o  32137  breprexplema  32141  breprexplemc  32143  breprexpnat  32145  circlemeth  32151  circlemethnat  32152  circlevma  32153  circlemethhgt  32154  hgt750lema  32168  lpadlem2  32191  mvrsfpw  32996  poimirlem26  35397  poimirlem27  35398  poimirlem28  35399  poimirlem30  35401  frlmfzowrdb  39777  frlmvscadiccat  39779  fltnltalem  40026  amgm2d  41312  amgm3d  41313  amgm4d  41314  fourierdlem25  43175  fourierdlem70  43219  fourierdlem71  43220  fourierdlem73  43222  fourierdlem79  43228  fourierdlem80  43229  meaiunlelem  43508  2pwp1prm  44523  nn0sumshdiglemA  45447  nn0sumshdiglemB  45448  nn0mullong  45453  amgmw2d  45817