Theorem fzofi 14025

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13717	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14023	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2852	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13713	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6758	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7634	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9108	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2852	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622   × cxp 5698  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  1c1 11185   − cmin 11520  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  uzindi  14033  fnfzo0hashnn0  14500  tpf1o  14550  wrdfin  14580  hashwrdn  14595  ccatalpha  14641  s7f1o  15015  telfsumo  15850  fsumparts  15854  geoserg  15914  pwdif  15916  bitsfi  16483  bitsinv1  16488  bitsinvp1  16495  sadcaddlem  16503  sadadd2lem  16505  sadadd3  16507  sadaddlem  16512  sadasslem  16516  sadeq  16518  crth  16825  phimullem  16826  eulerthlem2  16829  eulerth  16830  phisum  16837  prmgaplem3  17100  cshwshashnsame  17151  ablfaclem3  20131  ablfac2  20133  iunmbl  25607  volsup  25610  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumge  26082  dvfsumabs  26083  advlogexp  26715  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrisum  27554  vdegp1bi  29573  eupthfi  30237  trlsegvdeglem6  30257  fz1nnct  32808  wrdfsupp  32903  cycpmconjslem2  33148  evl1deg2  33567  evl1deg3  33568  gsummoncoe1fzo  33583  ply1degltdimlem  33635  sigapildsys  34126  carsgclctunlem3  34285  ccatmulgnn0dir  34519  ofcccat  34520  signsplypnf  34527  signsvvf  34556  prodfzo03  34580  fsum2dsub  34584  reprle  34591  reprsuc  34592  reprfi  34593  reprlt  34596  hashreprin  34597  reprgt  34598  reprinfz1  34599  reprpmtf1o  34603  breprexplema  34607  breprexplemc  34609  breprexpnat  34611  circlemeth  34617  circlemethnat  34618  circlevma  34619  circlemethhgt  34620  hgt750lema  34634  lpadlem2  34657  mvrsfpw  35474  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  poimirlem30  37610  frlmfzowrdb  42459  frlmvscadiccat  42461  fltnltalem  42617  amgm2d  44160  amgm3d  44161  amgm4d  44162  fourierdlem25  46053  fourierdlem70  46097  fourierdlem71  46098  fourierdlem73  46100  fourierdlem79  46106  fourierdlem80  46107  meaiunlelem  46389  2pwp1prm  47463  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354  nn0mullong  48359  amgmw2d  48898