Theorem fzofi 13889

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13887	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2840	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13579	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6685	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7543	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 9122	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2840	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4565   × cxp 5636  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  1c1 11061   − cmin 11394  ℤcz 12508  ...cfz 13434  ..^cfzo 13577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578

This theorem is referenced by:  uzindi  13897  fnfzo0hashnn0  14360  wrdfin  14432  hashwrdn  14447  ccatalpha  14493  telfsumo  15698  fsumparts  15702  geoserg  15762  pwdif  15764  bitsfi  16328  bitsinv1  16333  bitsinvp1  16340  sadcaddlem  16348  sadadd2lem  16350  sadadd3  16352  sadaddlem  16357  sadasslem  16361  sadeq  16363  crth  16661  phimullem  16662  eulerthlem2  16665  eulerth  16666  phisum  16673  prmgaplem3  16936  cshwshashnsame  16987  ablfaclem3  19880  ablfac2  19882  iunmbl  24954  volsup  24957  dvfsumle  25422  dvfsumge  25423  dvfsumabs  25424  advlogexp  26047  dchrisumlem1  26874  dchrisumlem2  26875  dchrisum  26877  vdegp1bi  28548  eupthfi  29212  trlsegvdeglem6  29232  fz1nnct  31774  cycpmconjslem2  32074  gsummoncoe1fzo  32367  ply1degltdimlem  32404  sigapildsys  32850  carsgclctunlem3  33009  ccatmulgnn0dir  33243  ofcccat  33244  signsplypnf  33251  signsvvf  33280  prodfzo03  33305  fsum2dsub  33309  reprle  33316  reprsuc  33317  reprfi  33318  reprlt  33321  hashreprin  33322  reprgt  33323  reprinfz1  33324  reprpmtf1o  33328  breprexplema  33332  breprexplemc  33334  breprexpnat  33336  circlemeth  33342  circlemethnat  33343  circlevma  33344  circlemethhgt  33345  hgt750lema  33359  lpadlem2  33382  mvrsfpw  34187  poimirlem26  36177  poimirlem27  36178  poimirlem28  36179  poimirlem30  36181  frlmfzowrdb  40747  frlmvscadiccat  40749  fltnltalem  41058  amgm2d  42593  amgm3d  42594  amgm4d  42595  fourierdlem25  44493  fourierdlem70  44537  fourierdlem71  44538  fourierdlem73  44540  fourierdlem79  44546  fourierdlem80  44547  meaiunlelem  44829  2pwp1prm  45901  nn0sumshdiglemA  46825  nn0sumshdiglemB  46826  nn0mullong  46831  amgmw2d  47371