Theorem fzofi 13897

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13895	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13572	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6673	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7542	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8979	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   × cxp 5622  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  1c1 11027   − cmin 11364  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  uzindi  13905  fnfzo0hashnn0  14374  tpf1o  14424  wrdfin  14455  hashwrdn  14470  ccatalpha  14517  s7f1o  14889  telfsumo  15725  fsumparts  15729  geoserg  15789  pwdif  15791  bitsfi  16364  bitsinv1  16369  bitsinvp1  16376  sadcaddlem  16384  sadadd2lem  16386  sadadd3  16388  sadaddlem  16393  sadasslem  16397  sadeq  16399  crth  16705  phimullem  16706  eulerthlem2  16709  eulerth  16710  phisum  16718  prmgaplem3  16981  cshwshashnsame  17031  ablfaclem3  20018  ablfac2  20020  iunmbl  25510  volsup  25513  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumge  25984  dvfsumabs  25985  advlogexp  26620  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrisum  27459  vdegp1bi  29611  eupthfi  30280  trlsegvdeglem6  30300  fz1nnct  32881  wrdfsupp  33019  gsummulsubdishift1  33151  gsummulsubdishift2  33152  cycpmconjslem2  33237  evl1deg2  33658  evl1deg3  33659  gsummoncoe1fzo  33678  ply1degltdimlem  33779  sigapildsys  34319  carsgclctunlem3  34477  ccatmulgnn0dir  34699  ofcccat  34700  signsplypnf  34707  signsvvf  34736  prodfzo03  34760  fsum2dsub  34764  reprle  34771  reprsuc  34772  reprfi  34773  reprlt  34776  hashreprin  34777  reprgt  34778  reprinfz1  34779  reprpmtf1o  34783  breprexplema  34787  breprexplemc  34789  breprexpnat  34791  circlemeth  34797  circlemethnat  34798  circlevma  34799  circlemethhgt  34800  hgt750lema  34814  lpadlem2  34837  mvrsfpw  35700  poimirlem26  37847  poimirlem27  37848  poimirlem28  37849  poimirlem30  37851  frlmfzowrdb  42769  frlmvscadiccat  42771  fltnltalem  42915  amgm2d  44449  amgm3d  44450  amgm4d  44451  fourierdlem25  46386  fourierdlem70  46430  fourierdlem71  46431  fourierdlem73  46433  fourierdlem79  46439  fourierdlem80  46440  meaiunlelem  46722  2pwp1prm  47845  gpgorder  48315  nn0sumshdiglemA  48875  nn0sumshdiglemB  48876  nn0mullong  48881  amgmw2d  50059