Theorem fzofi 14011

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13696	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14009	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2846	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13692	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6747	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7616	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9080	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2846	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604   × cxp 5686  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  1c1 11153   − cmin 11489  ℤcz 12610  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by:  uzindi  14019  fnfzo0hashnn0  14486  tpf1o  14536  wrdfin  14566  hashwrdn  14581  ccatalpha  14627  s7f1o  15001  telfsumo  15834  fsumparts  15838  geoserg  15898  pwdif  15900  bitsfi  16470  bitsinv1  16475  bitsinvp1  16482  sadcaddlem  16490  sadadd2lem  16492  sadadd3  16494  sadaddlem  16499  sadasslem  16503  sadeq  16505  crth  16811  phimullem  16812  eulerthlem2  16815  eulerth  16816  phisum  16823  prmgaplem3  17086  cshwshashnsame  17137  ablfaclem3  20121  ablfac2  20123  iunmbl  25601  volsup  25604  dvfsumle  26074  dvfsumleOLD  26075  dvfsumge  26076  dvfsumabs  26077  advlogexp  26711  dchrisumlem1  27547  dchrisumlem2  27548  dchrisum  27550  vdegp1bi  29569  eupthfi  30233  trlsegvdeglem6  30253  fz1nnct  32810  wrdfsupp  32905  cycpmconjslem2  33157  evl1deg2  33581  evl1deg3  33582  gsummoncoe1fzo  33597  ply1degltdimlem  33649  sigapildsys  34142  carsgclctunlem3  34301  ccatmulgnn0dir  34535  ofcccat  34536  signsplypnf  34543  signsvvf  34572  prodfzo03  34596  fsum2dsub  34600  reprle  34607  reprsuc  34608  reprfi  34609  reprlt  34612  hashreprin  34613  reprgt  34614  reprinfz1  34615  reprpmtf1o  34619  breprexplema  34623  breprexplemc  34625  breprexpnat  34627  circlemeth  34633  circlemethnat  34634  circlevma  34635  circlemethhgt  34636  hgt750lema  34650  lpadlem2  34673  mvrsfpw  35490  poimirlem26  37632  poimirlem27  37633  poimirlem28  37634  poimirlem30  37636  frlmfzowrdb  42490  frlmvscadiccat  42492  fltnltalem  42648  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  fourierdlem25  46087  fourierdlem70  46131  fourierdlem71  46132  fourierdlem73  46134  fourierdlem79  46140  fourierdlem80  46141  meaiunlelem  46423  2pwp1prm  47513  gpgorder  47947  nn0sumshdiglemA  48468  nn0sumshdiglemB  48469  nn0mullong  48474  amgmw2d  49034