Theorem fzofi 13936

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13614	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13934	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13610	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6679	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7551	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8989	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   × cxp 5629  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039   − cmin 11377  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  uzindi  13944  fnfzo0hashnn0  14413  tpf1o  14463  wrdfin  14494  hashwrdn  14509  ccatalpha  14556  s7f1o  14928  telfsumo  15765  fsumparts  15769  geoserg  15831  pwdif  15833  bitsfi  16406  bitsinv1  16411  bitsinvp1  16418  sadcaddlem  16426  sadadd2lem  16428  sadadd3  16430  sadaddlem  16435  sadasslem  16439  sadeq  16441  crth  16748  phimullem  16749  eulerthlem2  16752  eulerth  16753  phisum  16761  prmgaplem3  17024  cshwshashnsame  17074  ablfaclem3  20064  ablfac2  20066  iunmbl  25520  volsup  25523  dvfsumle  25988  dvfsumge  25989  dvfsumabs  25990  advlogexp  26619  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisum  27455  vdegp1bi  29606  eupthfi  30275  trlsegvdeglem6  30295  fz1nnct  32874  wrdfsupp  32997  gsummulsubdishift1  33129  gsummulsubdishift2  33130  cycpmconjslem2  33216  evl1deg2  33637  evl1deg3  33638  gsummoncoe1fzo  33657  ply1degltdimlem  33766  sigapildsys  34306  carsgclctunlem3  34464  ccatmulgnn0dir  34686  ofcccat  34687  signsplypnf  34694  signsvvf  34723  prodfzo03  34747  fsum2dsub  34751  reprle  34758  reprsuc  34759  reprfi  34760  reprlt  34763  hashreprin  34764  reprgt  34765  reprinfz1  34766  reprpmtf1o  34770  breprexplema  34774  breprexplemc  34776  breprexpnat  34778  circlemeth  34784  circlemethnat  34785  circlevma  34786  circlemethhgt  34787  hgt750lema  34801  lpadlem2  34824  mvrsfpw  35688  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  poimirlem30  37971  frlmfzowrdb  42949  frlmvscadiccat  42951  fltnltalem  43095  amgm2d  44625  amgm3d  44626  amgm4d  44627  fourierdlem25  46560  fourierdlem70  46604  fourierdlem71  46605  fourierdlem73  46607  fourierdlem79  46613  fourierdlem80  46614  meaiunlelem  46896  2pwp1prm  48052  gpgorder  48535  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096  nn0mullong  49101  amgmw2d  50279