MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 13622
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 13317 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3 fzfi 13620 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
42, 3eqeltrdi 2847 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 13313 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
65fdmi 6596 . . . 4 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
76ndmov 7434 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8 0fin 8916 . . 3 ∅ ∈ Fin
97, 8eqeltrdi 2847 . 2 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 182 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  c0 4253  𝒫 cpw 4530   × cxp 5578  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803  cmin 11135  cz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312
This theorem is referenced by:  uzindi  13630  fnfzo0hashnn0  14091  wrdfin  14163  hashwrdn  14178  ccatalpha  14226  telfsumo  15442  fsumparts  15446  geoserg  15506  pwdif  15508  bitsfi  16072  bitsinv1  16077  bitsinvp1  16084  sadcaddlem  16092  sadadd2lem  16094  sadadd3  16096  sadaddlem  16101  sadasslem  16105  sadeq  16107  crth  16407  phimullem  16408  eulerthlem2  16411  eulerth  16412  phisum  16419  prmgaplem3  16682  cshwshashnsame  16733  ablfaclem3  19605  ablfac2  19607  iunmbl  24622  volsup  24625  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumabs  25092  advlogexp  25715  dchrisumlem1  26542  dchrisumlem2  26543  dchrisum  26545  vdegp1bi  27807  eupthfi  28470  trlsegvdeglem6  28490  fz1nnct  31026  cycpmconjslem2  31324  sigapildsys  32030  carsgclctunlem3  32187  ccatmulgnn0dir  32421  ofcccat  32422  signsplypnf  32429  signsvvf  32458  prodfzo03  32483  fsum2dsub  32487  reprle  32494  reprsuc  32495  reprfi  32496  reprlt  32499  hashreprin  32500  reprgt  32501  reprinfz1  32502  reprpmtf1o  32506  breprexplema  32510  breprexplemc  32512  breprexpnat  32514  circlemeth  32520  circlemethnat  32521  circlevma  32522  circlemethhgt  32523  hgt750lema  32537  lpadlem2  32560  mvrsfpw  33368  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  poimirlem28  35732  poimirlem30  35734  frlmfzowrdb  40161  frlmvscadiccat  40163  fltnltalem  40415  amgm2d  41698  amgm3d  41699  amgm4d  41700  fourierdlem25  43563  fourierdlem70  43607  fourierdlem71  43608  fourierdlem73  43610  fourierdlem79  43616  fourierdlem80  43617  meaiunlelem  43896  2pwp1prm  44929  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854  nn0mullong  45859  amgmw2d  46394
  Copyright terms: Public domain W3C validator