Theorem fzofi 13881

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13560	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13879	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2839	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13556	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6662	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7530	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8964	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2839	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547   × cxp 5612  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  1c1 11007   − cmin 11344  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  uzindi  13889  fnfzo0hashnn0  14358  tpf1o  14408  wrdfin  14439  hashwrdn  14454  ccatalpha  14501  s7f1o  14873  telfsumo  15709  fsumparts  15713  geoserg  15773  pwdif  15775  bitsfi  16348  bitsinv1  16353  bitsinvp1  16360  sadcaddlem  16368  sadadd2lem  16370  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  sadeq  16383  crth  16689  phimullem  16690  eulerthlem2  16693  eulerth  16694  phisum  16702  prmgaplem3  16965  cshwshashnsame  17015  ablfaclem3  20001  ablfac2  20003  iunmbl  25481  volsup  25484  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumge  25955  dvfsumabs  25956  advlogexp  26591  dchrisumlem1  27427  dchrisumlem2  27428  dchrisum  27430  vdegp1bi  29516  eupthfi  30185  trlsegvdeglem6  30205  fz1nnct  32783  wrdfsupp  32918  cycpmconjslem2  33124  evl1deg2  33540  evl1deg3  33541  gsummoncoe1fzo  33558  ply1degltdimlem  33635  sigapildsys  34175  carsgclctunlem3  34333  ccatmulgnn0dir  34555  ofcccat  34556  signsplypnf  34563  signsvvf  34592  prodfzo03  34616  fsum2dsub  34620  reprle  34627  reprsuc  34628  reprfi  34629  reprlt  34632  hashreprin  34633  reprgt  34634  reprinfz1  34635  reprpmtf1o  34639  breprexplema  34643  breprexplemc  34645  breprexpnat  34647  circlemeth  34653  circlemethnat  34654  circlevma  34655  circlemethhgt  34656  hgt750lema  34670  lpadlem2  34693  mvrsfpw  35550  poimirlem26  37696  poimirlem27  37697  poimirlem28  37698  poimirlem30  37700  frlmfzowrdb  42607  frlmvscadiccat  42609  fltnltalem  42765  amgm2d  44301  amgm3d  44302  amgm4d  44303  fourierdlem25  46240  fourierdlem70  46284  fourierdlem71  46285  fourierdlem73  46287  fourierdlem79  46293  fourierdlem80  46294  meaiunlelem  46576  2pwp1prm  47699  gpgorder  48169  nn0sumshdiglemA  48730  nn0sumshdiglemB  48731  nn0mullong  48736  amgmw2d  49915