Theorem fzofi 13881

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13563	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13879	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13559	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6663	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7533	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8967	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551   × cxp 5617  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  1c1 11010   − cmin 11347  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  uzindi  13889  fnfzo0hashnn0  14358  tpf1o  14408  wrdfin  14439  hashwrdn  14454  ccatalpha  14500  s7f1o  14873  telfsumo  15709  fsumparts  15713  geoserg  15773  pwdif  15775  bitsfi  16348  bitsinv1  16353  bitsinvp1  16360  sadcaddlem  16368  sadadd2lem  16370  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  sadeq  16383  crth  16689  phimullem  16690  eulerthlem2  16693  eulerth  16694  phisum  16702  prmgaplem3  16965  cshwshashnsame  17015  ablfaclem3  19968  ablfac2  19970  iunmbl  25452  volsup  25455  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumge  25926  dvfsumabs  25927  advlogexp  26562  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem2  27399  dchrisum  27401  vdegp1bi  29483  eupthfi  30149  trlsegvdeglem6  30169  fz1nnct  32747  wrdfsupp  32879  cycpmconjslem2  33098  evl1deg2  33513  evl1deg3  33514  gsummoncoe1fzo  33531  ply1degltdimlem  33595  sigapildsys  34135  carsgclctunlem3  34294  ccatmulgnn0dir  34516  ofcccat  34517  signsplypnf  34524  signsvvf  34553  prodfzo03  34577  fsum2dsub  34581  reprle  34588  reprsuc  34589  reprfi  34590  reprlt  34593  hashreprin  34594  reprgt  34595  reprinfz1  34596  reprpmtf1o  34600  breprexplema  34604  breprexplemc  34606  breprexpnat  34608  circlemeth  34614  circlemethnat  34615  circlevma  34616  circlemethhgt  34617  hgt750lema  34631  lpadlem2  34654  mvrsfpw  35489  poimirlem26  37636  poimirlem27  37637  poimirlem28  37638  poimirlem30  37640  frlmfzowrdb  42487  frlmvscadiccat  42489  fltnltalem  42645  amgm2d  44181  amgm3d  44182  amgm4d  44183  fourierdlem25  46123  fourierdlem70  46167  fourierdlem71  46168  fourierdlem73  46170  fourierdlem79  46176  fourierdlem80  46177  meaiunlelem  46459  2pwp1prm  47583  gpgorder  48053  nn0sumshdiglemA  48614  nn0sumshdiglemB  48615  nn0mullong  48620  amgmw2d  49799