Theorem fzofi 13703

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13397	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13701	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2848	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13393	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6621	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7465	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 8963	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2848	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4257  𝒫 cpw 4534   × cxp 5588  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  1c1 10881   − cmin 11214  ℤcz 12328  ...cfz 13248  ..^cfzo 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392

This theorem is referenced by:  uzindi  13711  fnfzo0hashnn0  14172  wrdfin  14244  hashwrdn  14259  ccatalpha  14307  telfsumo  15523  fsumparts  15527  geoserg  15587  pwdif  15589  bitsfi  16153  bitsinv1  16158  bitsinvp1  16165  sadcaddlem  16173  sadadd2lem  16175  sadadd3  16177  sadaddlem  16182  sadasslem  16186  sadeq  16188  crth  16488  phimullem  16489  eulerthlem2  16492  eulerth  16493  phisum  16500  prmgaplem3  16763  cshwshashnsame  16814  ablfaclem3  19699  ablfac2  19701  iunmbl  24726  volsup  24729  dvfsumle  25194  dvfsumge  25195  dvfsumabs  25196  advlogexp  25819  dchrisumlem1  26646  dchrisumlem2  26647  dchrisum  26649  vdegp1bi  27913  eupthfi  28578  trlsegvdeglem6  28598  fz1nnct  31133  cycpmconjslem2  31431  sigapildsys  32139  carsgclctunlem3  32296  ccatmulgnn0dir  32530  ofcccat  32531  signsplypnf  32538  signsvvf  32567  prodfzo03  32592  fsum2dsub  32596  reprle  32603  reprsuc  32604  reprfi  32605  reprlt  32608  hashreprin  32609  reprgt  32610  reprinfz1  32611  reprpmtf1o  32615  breprexplema  32619  breprexplemc  32621  breprexpnat  32623  circlemeth  32629  circlemethnat  32630  circlevma  32631  circlemethhgt  32632  hgt750lema  32646  lpadlem2  32669  mvrsfpw  33477  poimirlem26  35812  poimirlem27  35813  poimirlem28  35814  poimirlem30  35816  frlmfzowrdb  40242  frlmvscadiccat  40244  fltnltalem  40506  amgm2d  41816  amgm3d  41817  amgm4d  41818  fourierdlem25  43680  fourierdlem70  43724  fourierdlem71  43725  fourierdlem73  43727  fourierdlem79  43733  fourierdlem80  43734  meaiunlelem  44013  2pwp1prm  45052  nn0sumshdiglemA  45976  nn0sumshdiglemB  45977  nn0mullong  45982  amgmw2d  46519