Theorem fzofi 13939

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13633	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13937	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13629	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6730	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7591	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 9171	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603   × cxp 5675  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  1c1 11111   − cmin 11444  ℤcz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628

This theorem is referenced by:  uzindi  13947  fnfzo0hashnn0  14410  wrdfin  14482  hashwrdn  14497  ccatalpha  14543  telfsumo  15748  fsumparts  15752  geoserg  15812  pwdif  15814  bitsfi  16378  bitsinv1  16383  bitsinvp1  16390  sadcaddlem  16398  sadadd2lem  16400  sadadd3  16402  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  sadeq  16413  crth  16711  phimullem  16712  eulerthlem2  16715  eulerth  16716  phisum  16723  prmgaplem3  16986  cshwshashnsame  17037  ablfaclem3  19957  ablfac2  19959  iunmbl  25070  volsup  25073  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumabs  25540  advlogexp  26163  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrisum  26995  vdegp1bi  28794  eupthfi  29458  trlsegvdeglem6  29478  fz1nnct  32014  cycpmconjslem2  32314  gsummoncoe1fzo  32668  ply1degltdimlem  32707  sigapildsys  33160  carsgclctunlem3  33319  ccatmulgnn0dir  33553  ofcccat  33554  signsplypnf  33561  signsvvf  33590  prodfzo03  33615  fsum2dsub  33619  reprle  33626  reprsuc  33627  reprfi  33628  reprlt  33631  hashreprin  33632  reprgt  33633  reprinfz1  33634  reprpmtf1o  33638  breprexplema  33642  breprexplemc  33644  breprexpnat  33646  circlemeth  33652  circlemethnat  33653  circlevma  33654  circlemethhgt  33655  hgt750lema  33669  lpadlem2  33692  mvrsfpw  34497  gg-dvfsumle  35182  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem28  36516  poimirlem30  36518  frlmfzowrdb  41078  frlmvscadiccat  41080  fltnltalem  41404  amgm2d  42950  amgm3d  42951  amgm4d  42952  fourierdlem25  44848  fourierdlem70  44892  fourierdlem71  44893  fourierdlem73  44895  fourierdlem79  44901  fourierdlem80  44902  meaiunlelem  45184  2pwp1prm  46257  nn0sumshdiglemA  47305  nn0sumshdiglemB  47306  nn0mullong  47311  amgmw2d  47851