Theorem fzofi 14010

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 14008	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2877	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13684	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6718	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7595	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9039	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2877	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567   × cxp 5660  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  1c1 11101   − cmin 11441  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  uzindi  14018  fnfzo0hashnn0  14488  tpf1o  14538  wrdfin  14569  hashwrdn  14584  ccatalpha  14631  s7f1o  15003  telfsumo  15854  fsumparts  15858  geoserg  15920  pwdif  15922  bitsfi  16495  bitsinv1  16500  bitsinvp1  16507  sadcaddlem  16515  sadadd2lem  16517  sadadd3  16519  sadaddlem  16524  sadasslem  16528  sadeq  16530  crth  16837  phimullem  16838  eulerthlem2  16841  eulerth  16842  phisum  16850  prmgaplem3  17113  cshwshashnsame  17163  ablfaclem3  20159  ablfac2  20161  iunmbl  25681  volsup  25684  dvfsumle  26149  dvfsumge  26150  dvfsumabs  26151  advlogexp  26786  dchrisumlem1  27619  dchrisumlem2  27620  dchrisum  27622  vdegp1bi  29828  eupthfi  30497  trlsegvdeglem6  30517  fz1nnct  33087  wrdfsupp  33198  gsummulsubdishift1  33329  gsummulsubdishift2  33330  cycpmconjslem2  33416  evl1deg2  33812  evl1deg3  33813  gsummoncoe1fzo  33832  ply1degltdimlem  33957  sigapildsys  34497  carsgclctunlem3  34655  ccatmulgnn0dir  34877  ofcccat  34878  signsplypnf  34882  signsvvf  34911  prodfzo03  34935  fsum2dsub  34939  reprle  34946  reprsuc  34947  reprfi  34948  reprlt  34951  hashreprin  34952  reprgt  34953  reprinfz1  34954  reprpmtf1o  34958  breprexplema  34962  breprexplemc  34964  breprexpnat  34966  circlemeth  34972  circlemethnat  34973  circlevma  34974  circlemethhgt  34975  hgt750lema  34989  lpadlem2  35015  mvrsfpw  35897  poimirlem26  38185  poimirlem27  38186  poimirlem28  38187  poimirlem30  38189  frlmfzowrdb  43168  frlmvscadiccat  43170  fltnltalem  43286  amgm2d  44816  amgm3d  44817  amgm4d  44818  fourierdlem25  46738  fourierdlem70  46782  fourierdlem71  46783  fourierdlem73  46785  fourierdlem79  46791  fourierdlem80  46792  meaiunlelem  47074  2pwp1prm  48230  gpgorder  48713  nn0sumshdiglemA  49284  nn0sumshdiglemB  49285  nn0mullong  49290  amgmw2d  50478