Theorem fzofi 13946

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13944	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2837	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13624	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6702	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7576	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 9016	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2837	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566   × cxp 5639  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  1c1 11076   − cmin 11412  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  uzindi  13954  fnfzo0hashnn0  14423  tpf1o  14473  wrdfin  14504  hashwrdn  14519  ccatalpha  14565  s7f1o  14939  telfsumo  15775  fsumparts  15779  geoserg  15839  pwdif  15841  bitsfi  16414  bitsinv1  16419  bitsinvp1  16426  sadcaddlem  16434  sadadd2lem  16436  sadadd3  16438  sadaddlem  16443  sadasslem  16447  sadeq  16449  crth  16755  phimullem  16756  eulerthlem2  16759  eulerth  16760  phisum  16768  prmgaplem3  17031  cshwshashnsame  17081  ablfaclem3  20026  ablfac2  20028  iunmbl  25461  volsup  25464  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumge  25935  dvfsumabs  25936  advlogexp  26571  dchrisumlem1  27407  dchrisumlem2  27408  dchrisum  27410  vdegp1bi  29472  eupthfi  30141  trlsegvdeglem6  30161  fz1nnct  32733  wrdfsupp  32865  cycpmconjslem2  33119  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  gsummoncoe1fzo  33570  ply1degltdimlem  33625  sigapildsys  34159  carsgclctunlem3  34318  ccatmulgnn0dir  34540  ofcccat  34541  signsplypnf  34548  signsvvf  34577  prodfzo03  34601  fsum2dsub  34605  reprle  34612  reprsuc  34613  reprfi  34614  reprlt  34617  hashreprin  34618  reprgt  34619  reprinfz1  34620  reprpmtf1o  34624  breprexplema  34628  breprexplemc  34630  breprexpnat  34632  circlemeth  34638  circlemethnat  34639  circlevma  34640  circlemethhgt  34641  hgt750lema  34655  lpadlem2  34678  mvrsfpw  35500  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem28  37649  poimirlem30  37651  frlmfzowrdb  42499  frlmvscadiccat  42501  fltnltalem  42657  amgm2d  44194  amgm3d  44195  amgm4d  44196  fourierdlem25  46137  fourierdlem70  46181  fourierdlem71  46182  fourierdlem73  46184  fourierdlem79  46190  fourierdlem80  46191  meaiunlelem  46473  2pwp1prm  47594  gpgorder  48054  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  nn0mullong  48618  amgmw2d  49797