Theorem fzofi 13930

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13608	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13928	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13604	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6674	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7545	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fi 8983	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   × cxp 5623  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  1c1 11033   − cmin 11371  ℤcz 12518  ...cfz 13455  ..^cfzo 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603

This theorem is referenced by:  uzindi  13938  fnfzo0hashnn0  14407  tpf1o  14457  wrdfin  14488  hashwrdn  14503  ccatalpha  14550  s7f1o  14922  telfsumo  15759  fsumparts  15763  geoserg  15825  pwdif  15827  bitsfi  16400  bitsinv1  16405  bitsinvp1  16412  sadcaddlem  16420  sadadd2lem  16422  sadadd3  16424  sadaddlem  16429  sadasslem  16433  sadeq  16435  crth  16742  phimullem  16743  eulerthlem2  16746  eulerth  16747  phisum  16755  prmgaplem3  17018  cshwshashnsame  17068  ablfaclem3  20058  ablfac2  20060  iunmbl  25533  volsup  25536  dvfsumle  26001  dvfsumge  26002  dvfsumabs  26003  advlogexp  26635  dchrisumlem1  27469  dchrisumlem2  27470  dchrisum  27472  vdegp1bi  29624  eupthfi  30293  trlsegvdeglem6  30313  fz1nnct  32892  wrdfsupp  33015  gsummulsubdishift1  33147  gsummulsubdishift2  33148  cycpmconjslem2  33234  evl1deg2  33655  evl1deg3  33656  gsummoncoe1fzo  33675  ply1degltdimlem  33785  sigapildsys  34325  carsgclctunlem3  34483  ccatmulgnn0dir  34705  ofcccat  34706  signsplypnf  34713  signsvvf  34742  prodfzo03  34766  fsum2dsub  34770  reprle  34777  reprsuc  34778  reprfi  34779  reprlt  34782  hashreprin  34783  reprgt  34784  reprinfz1  34785  reprpmtf1o  34789  breprexplema  34793  breprexplemc  34795  breprexpnat  34797  circlemeth  34803  circlemethnat  34804  circlevma  34805  circlemethhgt  34806  hgt750lema  34820  lpadlem2  34843  mvrsfpw  35707  poimirlem26  37984  poimirlem27  37985  poimirlem28  37986  poimirlem30  37988  frlmfzowrdb  42966  frlmvscadiccat  42968  fltnltalem  43112  amgm2d  44646  amgm3d  44647  amgm4d  44648  fourierdlem25  46581  fourierdlem70  46625  fourierdlem71  46626  fourierdlem73  46628  fourierdlem79  46634  fourierdlem80  46635  meaiunlelem  46917  2pwp1prm  48067  gpgorder  48550  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111  nn0mullong  49116  amgmw2d  50294