Theorem elfzoelz 13033

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13031	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13032	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13030	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7258	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4508	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3916	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4497  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029

This theorem is referenced by:  elfzo2  13036  elfzole1  13041  elfzolt2  13042  elfzolt3  13043  elfzolt2b  13044  elfzouz2  13047  fzonnsub  13057  fzospliti  13064  fzodisj  13066  fzodisjsn  13070  fzonmapblen  13078  fzoaddel  13085  elincfzoext  13090  fzosubel  13091  elfzom1elp1fzo1  13132  elfzo1elm1fzo0  13133  elfznelfzob  13138  modaddmodup  13297  modaddmodlo  13298  modfzo0difsn  13306  modsumfzodifsn  13307  addmodlteq  13309  ccatval3  13924  ccatlid  13931  ccatass  13933  ccatrn  13934  ccatalpha  13938  swrdfv0  14002  swrdfv2  14014  swrds1  14019  ccatswrd  14021  pfxfv  14035  ccatpfx  14054  swrdswrd  14058  pfxccatin12lem2a  14080  swrdccatin2  14082  pfxccatin12lem2  14084  revccat  14119  revrev  14120  repswrevw  14140  cshwidxmod  14156  cshwidxmodr  14157  cshwidx0  14159  cshwidxm1  14160  cshweqrep  14174  cshw1  14175  cshimadifsn  14182  cshimadifsn0  14183  cshco  14189  fzomaxdiflem  14694  fzomaxdif  14695  pwdif  15215  pwm1geoser  15216  fzo0dvdseq  15665  fzocongeq  15666  addmodlteqALT  15667  crth  16105  phimullem  16106  eulerthlem1  16108  eulerthlem2  16109  hashgcdlem  16115  hashgcdeq  16116  phisum  16117  reumodprminv  16131  modprm0  16132  nnnn0modprm0  16133  modprmn0modprm0  16134  prmgaplem7  16383  cshwshashlem2  16422  cshwshashlem3  16423  cshwrepswhash1  16428  psgnunilem5  18614  odf1o2  18690  odngen  18694  znf1o  20243  znunithash  20256  dvfsumle  24624  dvfsumabs  24626  dchrisumlem1  26073  dchrisumlem2  26074  dchrisum  26076  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemi  26188  pntlemf  26189  wlk1walk  27428  pthdadjvtx  27519  crctcshwlkn0lem3  27598  crctcshwlkn0lem4  27599  crctcshwlkn0lem5  27600  crctcshwlkn0lem6  27601  crctcshlem2  27604  crctcshwlkn0  27607  crctcshtrl  27609  crctcsh  27610  clwwlkccatlem  27774  clwwisshclwwslem  27799  clwwisshclwws  27800  eucrctshift  28028  eucrct2eupth  28030  ccatf1  30651  cshwrnid  30661  revpfxsfxrev  32475  revwlk  32484  poimirlem8  35065  poimirlem18  35075  poimirlem21  35078  poimirlem22  35079  poimirlem24  35081  frlmvscadiccat  39440  elfzop1le2  41921  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  stoweidlem3  42645  fourierdlem12  42761  fourierdlem20  42769  fourierdlem46  42794  fourierdlem50  42798  fourierdlem54  42802  fourierdlem63  42811  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem76  42824  fourierdlem79  42827  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem114  42862  iundjiun  43099  carageniuncllem1  43160  caratheodorylem1  43165  iccpartipre  43938  iccpartiltu  43939  iccpartigtl  43940  iccpartgt  43944  icceuelpartlem  43952  icceuelpart  43953  iccpartnel  43955  fargshiftf1  43958  bgoldbtbndlem2  44324  m1modmmod  44935  fllog2  44982  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034  nn0mullong  45039