Theorem elfzoelz 13316

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13313	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7380	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4541	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3918	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4530  (class class class)co 7255  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  elfzo2  13319  elfzole1  13324  elfzolt2  13325  elfzolt3  13326  elfzolt2b  13327  elfzouz2  13330  fzonnsub  13340  fzospliti  13347  fzodisj  13349  fzodisjsn  13353  fzonmapblen  13361  fzoaddel  13368  elincfzoext  13373  fzosubel  13374  elfzom1elp1fzo1  13415  elfzo1elm1fzo0  13416  elfznelfzob  13421  modaddmodup  13582  modaddmodlo  13583  modfzo0difsn  13591  modsumfzodifsn  13592  addmodlteq  13594  ccatval3  14212  ccatlid  14219  ccatass  14221  ccatrn  14222  ccatalpha  14226  swrdfv0  14290  swrdfv2  14302  swrds1  14307  ccatswrd  14309  pfxfv  14323  ccatpfx  14342  swrdswrd  14346  pfxccatin12lem2a  14368  swrdccatin2  14370  pfxccatin12lem2  14372  revccat  14407  revrev  14408  repswrevw  14428  cshwidxmod  14444  cshwidxmodr  14445  cshwidx0  14447  cshwidxm1  14448  cshweqrep  14462  cshw1  14463  cshimadifsn  14470  cshimadifsn0  14471  cshco  14477  fzomaxdiflem  14982  fzomaxdif  14983  pwdif  15508  pwm1geoser  15509  fzo0dvdseq  15960  fzocongeq  15961  addmodlteqALT  15962  crth  16407  phimullem  16408  eulerthlem1  16410  eulerthlem2  16411  hashgcdlem  16417  hashgcdeq  16418  phisum  16419  reumodprminv  16433  modprm0  16434  nnnn0modprm0  16435  modprmn0modprm0  16436  prmgaplem7  16686  cshwshashlem2  16726  cshwshashlem3  16727  cshwrepswhash1  16732  psgnunilem5  19017  odf1o2  19093  odngen  19097  znf1o  20671  znunithash  20684  dvfsumle  25090  dvfsumabs  25092  dchrisumlem1  26542  dchrisumlem2  26543  dchrisum  26545  pntlemq  26654  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemi  26657  pntlemf  26658  wlk1walk  27908  pthdadjvtx  27999  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem4  28079  crctcshwlkn0lem5  28080  crctcshwlkn0lem6  28081  crctcshlem2  28084  crctcshwlkn0  28087  crctcshtrl  28089  crctcsh  28090  clwwlkccatlem  28254  clwwisshclwwslem  28279  clwwisshclwws  28280  eucrctshift  28508  eucrct2eupth  28510  ccatf1  31125  cshwrnid  31135  revpfxsfxrev  32977  revwlk  32986  poimirlem8  35712  poimirlem18  35722  poimirlem21  35725  poimirlem22  35726  poimirlem24  35728  frlmvscadiccat  40163  elfzop1le2  42718  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  stoweidlem3  43434  fourierdlem12  43550  fourierdlem20  43558  fourierdlem46  43583  fourierdlem50  43587  fourierdlem54  43591  fourierdlem63  43600  fourierdlem64  43601  fourierdlem65  43602  fourierdlem76  43613  fourierdlem79  43616  fourierdlem102  43639  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem114  43651  iundjiun  43888  carageniuncllem1  43949  caratheodorylem1  43954  iccpartipre  44761  iccpartiltu  44762  iccpartigtl  44763  iccpartgt  44767  icceuelpartlem  44775  icceuelpart  44776  iccpartnel  44778  fargshiftf1  44781  bgoldbtbndlem2  45146  m1modmmod  45755  fllog2  45802  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854  nn0mullong  45859