Theorem elfzoelz 13620

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13618	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13619	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13617	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7517	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3947	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4563  (class class class)co 7387  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  elfzo2  13623  elfzole1  13628  elfzolt2  13629  elfzolt3  13630  elfzolt2b  13631  elfzop1le2  13633  elfzouz2  13635  fzonnsub  13645  fzospliti  13652  fzodisj  13654  fzodisjsn  13658  elfzo0subge1  13666  elfzo0suble  13667  fzonmapblen  13669  fzoaddel  13678  elincfzoext  13684  fzosubel  13685  elfzom1elp1fzo1  13728  elfzo1elm1fzo0  13729  elfznelfzob  13734  modaddid  13872  modaddmodup  13899  modaddmodlo  13900  modfzo0difsn  13908  modsumfzodifsn  13909  addmodlteq  13911  ccatval3  14544  ccatlid  14551  ccatass  14553  ccatrn  14554  ccatalpha  14558  swrdfv0  14614  swrdfv2  14626  swrds1  14631  ccatswrd  14633  pfxfv  14647  ccatpfx  14666  swrdswrd  14670  pfxccatin12lem2a  14692  swrdccatin2  14694  pfxccatin12lem2  14696  revccat  14731  revrev  14732  repswrevw  14752  cshwidxmod  14768  cshwidxmodr  14769  cshwidx0  14771  cshwidxm1  14772  cshweqrep  14786  cshw1  14787  cshimadifsn  14795  cshimadifsn0  14796  cshco  14802  fzomaxdiflem  15309  fzomaxdif  15310  pwdif  15834  pwm1geoser  15835  fzo0dvdseq  16293  fzocongeq  16294  addmodlteqALT  16295  crth  16748  phimullem  16749  eulerthlem1  16751  eulerthlem2  16752  hashgcdlem  16758  hashgcdeq  16760  phisum  16761  reumodprminv  16775  modprm0  16776  nnnn0modprm0  16777  modprmn0modprm0  16778  prmgaplem7  17028  cshwshashlem2  17067  cshwshashlem3  17068  cshwrepswhash1  17073  psgnunilem5  19424  odf1o2  19503  odngen  19507  znf1o  21461  znunithash  21474  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumabs  25929  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  dchrisum  27403  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemi  27515  pntlemf  27516  wlk1walk  29567  pthdadjvtx  29658  crctcshwlkn0lem3  29742  crctcshwlkn0lem4  29743  crctcshwlkn0lem5  29744  crctcshwlkn0lem6  29745  crctcshlem2  29748  crctcshwlkn0  29751  crctcshtrl  29753  crctcsh  29754  clwwlkccatlem  29918  clwwisshclwwslem  29943  clwwisshclwws  29944  eucrctshift  30172  eucrct2eupth  30174  ccatf1  32870  cshwrnid  32883  revpfxsfxrev  35103  revwlk  35112  poimirlem8  37622  poimirlem18  37632  poimirlem21  37635  poimirlem22  37636  poimirlem24  37638  frlmvscadiccat  42494  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  stoweidlem3  46001  fourierdlem12  46117  fourierdlem20  46125  fourierdlem46  46150  fourierdlem50  46154  fourierdlem54  46158  fourierdlem63  46167  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem76  46180  fourierdlem79  46183  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem114  46218  iundjiun  46458  carageniuncllem1  46519  caratheodorylem1  46524  ormklocald  46872  ormkglobd  46873  natlocalincr  46874  natglobalincr  46875  zplusmodne  47344  p1modne  47348  m1modne  47349  minusmod5ne  47350  submodlt  47351  minusmodnep2tmod  47354  m1modmmod  47359  modmknepk  47363  mod2addne  47365  modm2nep1  47367  modm1nep2  47369  modm1nem2  47370  modm1p1ne  47371  iccpartipre  47422  iccpartiltu  47423  iccpartigtl  47424  iccpartgt  47428  icceuelpartlem  47436  icceuelpart  47437  iccpartnel  47439  fargshiftf1  47442  bgoldbtbndlem2  47807  upgrimpthslem2  47908  gpgiedgdmellem  48037  gpgvtx0  48044  gpgvtx1  48045  gpgedgvtx0  48052  gpgedgvtx1  48053  gpgvtxedg0  48054  gpgvtxedg1  48055  gpgedg2iv  48058  gpg5nbgrvtx13starlem2  48063  gpg3nbgrvtx0  48067  gpg5nbgrvtx03star  48071  gpg5nbgr3star  48072  pgnbgreunbgrlem2lem1  48104  pgnbgreunbgrlem2lem2  48105  pgnbgreunbgrlem2lem3  48106  fllog2  48557  nn0sumshdiglemA  48608  nn0sumshdiglemB  48609  nn0mullong  48614