Theorem elfzoelz 13664

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13663	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13661	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7524	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4564	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3937	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  𝒫 cpw 4555  (class class class)co 7396  ℤcz 12568  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-neg 11417  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  elfzo2  13667  elfzole1  13673  elfzolt2  13674  elfzolt3  13675  elfzolt2b  13676  elfzop1le2  13678  elfzouz2  13680  fzonnsub  13690  fzospliti  13697  fzodisj  13699  fzodisjsn  13703  elfzo0subge1  13711  elfzo0suble  13712  fzonmapblen  13714  fzoaddel  13723  elincfzoext  13729  fzosubel  13730  elfzom1elp1fzo1  13773  elfzo1elm1fzo0  13774  elfznelfzob  13780  modaddid  13920  modaddmodup  13947  modaddmodlo  13948  modfzo0difsn  13956  modsumfzodifsn  13957  addmodlteq  13959  ccatval3  14592  ccatlid  14600  ccatass  14602  ccatrn  14603  ccatalpha  14607  swrdfv0  14663  swrdfv2  14675  swrds1  14680  ccatswrd  14682  pfxfv  14696  ccatpfx  14714  swrdswrd  14718  pfxccatin12lem2a  14740  swrdccatin2  14742  pfxccatin12lem2  14744  revccat  14779  revrev  14780  repswrevw  14800  cshwidxmod  14816  cshwidxmodr  14817  cshwidx0  14819  cshwidxm1  14820  cshweqrep  14834  cshw1  14835  cshimadifsn  14842  cshimadifsn0  14843  cshco  14849  fzomaxdiflem  15370  fzomaxdif  15371  pwdif  15898  pwm1geoser  15899  fzo0dvdseq  16357  fzocongeq  16358  addmodlteqALT  16359  crth  16813  phimullem  16814  eulerthlem1  16816  eulerthlem2  16817  hashgcdlem  16823  hashgcdeq  16825  phisum  16826  reumodprminv  16840  modprm0  16841  nnnn0modprm0  16842  modprmn0modprm0  16843  prmgaplem7  17093  cshwshashlem2  17132  cshwshashlem3  17133  cshwrepswhash1  17138  chnccat  18658  chnrev  18659  chnpof1  18662  psgnunilem5  19534  odf1o2  19613  odngen  19617  znf1o  21600  znunithash  21613  dvfsumle  26080  dvfsumabs  26082  dchrisumlem1  27550  dchrisumlem2  27551  dchrisum  27553  pntlemq  27662  pntlemr  27663  pntlemj  27664  pntlemi  27665  pntlemf  27666  wlk1walk  29836  pthdadjvtx  29925  crctcshwlkn0lem3  30009  crctcshwlkn0lem4  30010  crctcshwlkn0lem5  30011  crctcshwlkn0lem6  30012  crctcshlem2  30015  crctcshwlkn0  30018  crctcshtrl  30020  crctcsh  30021  clwwlkccatlem  30188  clwwisshclwwslem  30213  clwwisshclwws  30214  eucrctshift  30442  eucrct2eupth  30444  ccatf1  33124  cshwrnid  33136  revpfxsfxrev  35463  revwlk  35472  poimirlem8  38124  poimirlem18  38134  poimirlem21  38137  poimirlem22  38138  poimirlem24  38140  frlmvscadiccat  43125  iblspltprt  46544  itgspltprt  46550  stoweidlem3  46574  fourierdlem12  46690  fourierdlem20  46698  fourierdlem46  46723  fourierdlem50  46727  fourierdlem54  46731  fourierdlem63  46740  fourierdlem64  46741  fourierdlem65  46742  fourierdlem76  46753  fourierdlem79  46756  fourierdlem102  46779  fourierdlem103  46780  fourierdlem104  46781  fourierdlem114  46791  iundjiun  47031  carageniuncllem1  47092  caratheodorylem1  47097  ormklocald  47447  ormkglobd  47448  natlocalincr  47449  natglobalincr  47450  chnsubseq  47453  chnerlem3  47457  nnmul2  47921  zplusmodne  47940  p1modne  47944  m1modne  47945  minusmod5ne  47946  submodlt  47947  minusmodnep2tmod  47950  m1modmmod  47955  modmknepk  47959  mod2addne  47961  modm2nep1  47963  modm1nep2  47965  modm1nem2  47966  modm1p1ne  47967  muldvdsfacgt  47977  muldvdsfacm1  47978  iccpartipre  48024  iccpartiltu  48025  iccpartigtl  48026  iccpartgt  48030  icceuelpartlem  48038  icceuelpart  48039  iccpartnel  48041  fargshiftf1  48044  nprmmul2  48131  nprmmul3  48132  nprmdvdsfacm1lem1  48226  nprmdvdsfacm1lem3  48228  nprmdvdsfacm1lem4  48229  bgoldbtbndlem2  48425  upgrimpthslem2  48527  gpgiedgdmellem  48665  gpgvtx0  48672  gpgvtx1  48673  gpgedgvtx0  48680  gpgedgvtx1  48681  gpgvtxedg0  48682  gpgvtxedg1  48683  gpgedg2iv  48686  gpg5nbgrvtx13starlem2  48691  gpg3nbgrvtx0  48695  gpg5nbgrvtx03star  48699  gpg5nbgr3star  48700  pgnbgreunbgrlem2lem1  48733  pgnbgreunbgrlem2lem2  48734  pgnbgreunbgrlem2lem3  48735  fllog2  49187  nn0sumshdiglemA  49238  nn0sumshdiglemB  49239  nn0mullong  49244