Theorem elfzoelz 13676

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13673	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7535	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3959	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4575  (class class class)co 7405  ℤcz 12588  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  elfzo2  13679  elfzole1  13684  elfzolt2  13685  elfzolt3  13686  elfzolt2b  13687  elfzop1le2  13689  elfzouz2  13691  fzonnsub  13701  fzospliti  13708  fzodisj  13710  fzodisjsn  13714  elfzo0subge1  13722  elfzo0suble  13723  fzonmapblen  13725  fzoaddel  13733  elincfzoext  13739  fzosubel  13740  elfzom1elp1fzo1  13783  elfzo1elm1fzo0  13784  elfznelfzob  13789  modaddmodup  13952  modaddmodlo  13953  modfzo0difsn  13961  modsumfzodifsn  13962  addmodlteq  13964  ccatval3  14597  ccatlid  14604  ccatass  14606  ccatrn  14607  ccatalpha  14611  swrdfv0  14667  swrdfv2  14679  swrds1  14684  ccatswrd  14686  pfxfv  14700  ccatpfx  14719  swrdswrd  14723  pfxccatin12lem2a  14745  swrdccatin2  14747  pfxccatin12lem2  14749  revccat  14784  revrev  14785  repswrevw  14805  cshwidxmod  14821  cshwidxmodr  14822  cshwidx0  14824  cshwidxm1  14825  cshweqrep  14839  cshw1  14840  cshimadifsn  14848  cshimadifsn0  14849  cshco  14855  fzomaxdiflem  15361  fzomaxdif  15362  pwdif  15884  pwm1geoser  15885  fzo0dvdseq  16342  fzocongeq  16343  addmodlteqALT  16344  crth  16797  phimullem  16798  eulerthlem1  16800  eulerthlem2  16801  hashgcdlem  16807  hashgcdeq  16809  phisum  16810  reumodprminv  16824  modprm0  16825  nnnn0modprm0  16826  modprmn0modprm0  16827  prmgaplem7  17077  cshwshashlem2  17116  cshwshashlem3  17117  cshwrepswhash1  17122  psgnunilem5  19475  odf1o2  19554  odngen  19558  znf1o  21512  znunithash  21525  dvfsumle  25978  dvfsumleOLD  25979  dvfsumabs  25981  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisum  27455  pntlemq  27564  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemi  27567  pntlemf  27568  wlk1walk  29619  pthdadjvtx  29710  crctcshwlkn0lem3  29794  crctcshwlkn0lem4  29795  crctcshwlkn0lem5  29796  crctcshwlkn0lem6  29797  crctcshlem2  29800  crctcshwlkn0  29803  crctcshtrl  29805  crctcsh  29806  clwwlkccatlem  29970  clwwisshclwwslem  29995  clwwisshclwws  29996  eucrctshift  30224  eucrct2eupth  30226  ccatf1  32924  cshwrnid  32937  revpfxsfxrev  35138  revwlk  35147  poimirlem8  37652  poimirlem18  37662  poimirlem21  37665  poimirlem22  37666  poimirlem24  37668  frlmvscadiccat  42529  iblspltprt  46002  itgspltprt  46008  stoweidlem3  46032  fourierdlem12  46148  fourierdlem20  46156  fourierdlem46  46181  fourierdlem50  46185  fourierdlem54  46189  fourierdlem63  46198  fourierdlem64  46199  fourierdlem65  46200  fourierdlem76  46211  fourierdlem79  46214  fourierdlem102  46237  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem114  46249  iundjiun  46489  carageniuncllem1  46550  caratheodorylem1  46555  ormklocald  46903  ormkglobd  46904  natlocalincr  46905  natglobalincr  46906  zplusmodne  47372  p1modne  47376  m1modne  47377  minusmod5ne  47378  submodlt  47379  minusmodnep2tmod  47382  iccpartipre  47435  iccpartiltu  47436  iccpartigtl  47437  iccpartgt  47441  icceuelpartlem  47449  icceuelpart  47450  iccpartnel  47452  fargshiftf1  47455  bgoldbtbndlem2  47820  upgrimpthslem2  47921  gpgiedgdmellem  48050  gpgvtx0  48057  gpgvtx1  48058  gpgedgvtx0  48065  gpgedgvtx1  48066  gpgvtxedg0  48067  gpgvtxedg1  48068  gpg3nbgrvtxlem  48069  gpg5nbgrvtx13starlem2  48074  gpg3nbgrvtx0  48078  gpg5nbgrvtx03star  48082  gpg5nbgr3star  48083  m1modmmod  48501  fllog2  48548  nn0sumshdiglemA  48599  nn0sumshdiglemB  48600  nn0mullong  48605