Theorem elfzoelz 13562

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13560	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13561	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13559	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7477	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3936	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4551  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  elfzo2  13565  elfzole1  13570  elfzolt2  13571  elfzolt3  13572  elfzolt2b  13573  elfzop1le2  13575  elfzouz2  13577  fzonnsub  13587  fzospliti  13594  fzodisj  13596  fzodisjsn  13600  elfzo0subge1  13608  elfzo0suble  13609  fzonmapblen  13611  fzoaddel  13620  elincfzoext  13626  fzosubel  13627  elfzom1elp1fzo1  13670  elfzo1elm1fzo0  13671  elfznelfzob  13676  modaddid  13814  modaddmodup  13841  modaddmodlo  13842  modfzo0difsn  13850  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  ccatval3  14486  ccatlid  14493  ccatass  14495  ccatrn  14496  ccatalpha  14500  swrdfv0  14556  swrdfv2  14568  swrds1  14573  ccatswrd  14575  pfxfv  14589  ccatpfx  14607  swrdswrd  14611  pfxccatin12lem2a  14633  swrdccatin2  14635  pfxccatin12lem2  14637  revccat  14672  revrev  14673  repswrevw  14693  cshwidxmod  14709  cshwidxmodr  14710  cshwidx0  14712  cshwidxm1  14713  cshweqrep  14727  cshw1  14728  cshimadifsn  14736  cshimadifsn0  14737  cshco  14743  fzomaxdiflem  15250  fzomaxdif  15251  pwdif  15775  pwm1geoser  15776  fzo0dvdseq  16234  fzocongeq  16235  addmodlteqALT  16236  crth  16689  phimullem  16690  eulerthlem1  16692  eulerthlem2  16693  hashgcdlem  16699  hashgcdeq  16701  phisum  16702  reumodprminv  16716  modprm0  16717  nnnn0modprm0  16718  modprmn0modprm0  16719  prmgaplem7  16969  cshwshashlem2  17008  cshwshashlem3  17009  cshwrepswhash1  17014  psgnunilem5  19373  odf1o2  19452  odngen  19456  znf1o  21458  znunithash  21471  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumabs  25927  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem2  27399  dchrisum  27401  pntlemq  27510  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemi  27513  pntlemf  27514  wlk1walk  29584  pthdadjvtx  29673  crctcshwlkn0lem3  29757  crctcshwlkn0lem4  29758  crctcshwlkn0lem5  29759  crctcshwlkn0lem6  29760  crctcshlem2  29763  crctcshwlkn0  29766  crctcshtrl  29768  crctcsh  29769  clwwlkccatlem  29933  clwwisshclwwslem  29958  clwwisshclwws  29959  eucrctshift  30187  eucrct2eupth  30189  ccatf1  32890  cshwrnid  32903  revpfxsfxrev  35089  revwlk  35098  poimirlem8  37608  poimirlem18  37618  poimirlem21  37621  poimirlem22  37622  poimirlem24  37624  frlmvscadiccat  42479  iblspltprt  45954  itgspltprt  45960  stoweidlem3  45984  fourierdlem12  46100  fourierdlem20  46108  fourierdlem46  46133  fourierdlem50  46137  fourierdlem54  46141  fourierdlem63  46150  fourierdlem64  46151  fourierdlem65  46152  fourierdlem76  46163  fourierdlem79  46166  fourierdlem102  46189  fourierdlem103  46190  fourierdlem104  46191  fourierdlem114  46201  iundjiun  46441  carageniuncllem1  46502  caratheodorylem1  46507  ormklocald  46855  ormkglobd  46856  natlocalincr  46857  natglobalincr  46858  zplusmodne  47327  p1modne  47331  m1modne  47332  minusmod5ne  47333  submodlt  47334  minusmodnep2tmod  47337  m1modmmod  47342  modmknepk  47346  mod2addne  47348  modm2nep1  47350  modm1nep2  47352  modm1nem2  47353  modm1p1ne  47354  iccpartipre  47405  iccpartiltu  47406  iccpartigtl  47407  iccpartgt  47411  icceuelpartlem  47419  icceuelpart  47420  iccpartnel  47422  fargshiftf1  47425  bgoldbtbndlem2  47790  upgrimpthslem2  47892  gpgiedgdmellem  48030  gpgvtx0  48037  gpgvtx1  48038  gpgedgvtx0  48045  gpgedgvtx1  48046  gpgvtxedg0  48047  gpgvtxedg1  48048  gpgedg2iv  48051  gpg5nbgrvtx13starlem2  48056  gpg3nbgrvtx0  48060  gpg5nbgrvtx03star  48064  gpg5nbgr3star  48065  pgnbgreunbgrlem2lem1  48098  pgnbgreunbgrlem2lem2  48099  pgnbgreunbgrlem2lem3  48100  fllog2  48553  nn0sumshdiglemA  48604  nn0sumshdiglemB  48605  nn0mullong  48610