Theorem elfzoelz 13387

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13386	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13384	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7402	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4544	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3922	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  𝒫 cpw 4533  (class class class)co 7275  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  elfzo2  13390  elfzole1  13395  elfzolt2  13396  elfzolt3  13397  elfzolt2b  13398  elfzop1le2  13400  elfzouz2  13402  fzonnsub  13412  fzospliti  13419  fzodisj  13421  fzodisjsn  13425  fzonmapblen  13433  fzoaddel  13440  elincfzoext  13445  fzosubel  13446  elfzom1elp1fzo1  13487  elfzo1elm1fzo0  13488  elfznelfzob  13493  modaddmodup  13654  modaddmodlo  13655  modfzo0difsn  13663  modsumfzodifsn  13664  addmodlteq  13666  ccatval3  14284  ccatlid  14291  ccatass  14293  ccatrn  14294  ccatalpha  14298  swrdfv0  14362  swrdfv2  14374  swrds1  14379  ccatswrd  14381  pfxfv  14395  ccatpfx  14414  swrdswrd  14418  pfxccatin12lem2a  14440  swrdccatin2  14442  pfxccatin12lem2  14444  revccat  14479  revrev  14480  repswrevw  14500  cshwidxmod  14516  cshwidxmodr  14517  cshwidx0  14519  cshwidxm1  14520  cshweqrep  14534  cshw1  14535  cshimadifsn  14542  cshimadifsn0  14543  cshco  14549  fzomaxdiflem  15054  fzomaxdif  15055  pwdif  15580  pwm1geoser  15581  fzo0dvdseq  16032  fzocongeq  16033  addmodlteqALT  16034  crth  16479  phimullem  16480  eulerthlem1  16482  eulerthlem2  16483  hashgcdlem  16489  hashgcdeq  16490  phisum  16491  reumodprminv  16505  modprm0  16506  nnnn0modprm0  16507  modprmn0modprm0  16508  prmgaplem7  16758  cshwshashlem2  16798  cshwshashlem3  16799  cshwrepswhash1  16804  psgnunilem5  19102  odf1o2  19178  odngen  19182  znf1o  20759  znunithash  20772  dvfsumle  25185  dvfsumabs  25187  dchrisumlem1  26637  dchrisumlem2  26638  dchrisum  26640  pntlemq  26749  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemi  26752  pntlemf  26753  wlk1walk  28006  pthdadjvtx  28098  crctcshwlkn0lem3  28177  crctcshwlkn0lem4  28178  crctcshwlkn0lem5  28179  crctcshwlkn0lem6  28180  crctcshlem2  28183  crctcshwlkn0  28186  crctcshtrl  28188  crctcsh  28189  clwwlkccatlem  28353  clwwisshclwwslem  28378  clwwisshclwws  28379  eucrctshift  28607  eucrct2eupth  28609  ccatf1  31223  cshwrnid  31233  revpfxsfxrev  33077  revwlk  33086  poimirlem8  35785  poimirlem18  35795  poimirlem21  35798  poimirlem22  35799  poimirlem24  35801  frlmvscadiccat  40237  iblspltprt  43514  itgspltprt  43520  stoweidlem3  43544  fourierdlem12  43660  fourierdlem20  43668  fourierdlem46  43693  fourierdlem50  43697  fourierdlem54  43701  fourierdlem63  43710  fourierdlem64  43711  fourierdlem65  43712  fourierdlem76  43723  fourierdlem79  43726  fourierdlem102  43749  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem114  43761  iundjiun  43998  carageniuncllem1  44059  caratheodorylem1  44064  iccpartipre  44873  iccpartiltu  44874  iccpartigtl  44875  iccpartgt  44879  icceuelpartlem  44887  icceuelpart  44888  iccpartnel  44890  fargshiftf1  44893  bgoldbtbndlem2  45258  m1modmmod  45867  fllog2  45914  nn0sumshdiglemA  45965  nn0sumshdiglemB  45966  nn0mullong  45971  natlocalincr  46511  natglobalincr  46512