Theorem elfzoelz 13627

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13625	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 13626	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		fzof 13624	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
4	3	fovcl 7520	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
6	5	elpwid 4575	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
8	6, 7	sseldd 3950	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4566  (class class class)co 7390  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  elfzo2  13630  elfzole1  13635  elfzolt2  13636  elfzolt3  13637  elfzolt2b  13638  elfzop1le2  13640  elfzouz2  13642  fzonnsub  13652  fzospliti  13659  fzodisj  13661  fzodisjsn  13665  elfzo0subge1  13673  elfzo0suble  13674  fzonmapblen  13676  fzoaddel  13685  elincfzoext  13691  fzosubel  13692  elfzom1elp1fzo1  13735  elfzo1elm1fzo0  13736  elfznelfzob  13741  modaddid  13879  modaddmodup  13906  modaddmodlo  13907  modfzo0difsn  13915  modsumfzodifsn  13916  addmodlteq  13918  ccatval3  14551  ccatlid  14558  ccatass  14560  ccatrn  14561  ccatalpha  14565  swrdfv0  14621  swrdfv2  14633  swrds1  14638  ccatswrd  14640  pfxfv  14654  ccatpfx  14673  swrdswrd  14677  pfxccatin12lem2a  14699  swrdccatin2  14701  pfxccatin12lem2  14703  revccat  14738  revrev  14739  repswrevw  14759  cshwidxmod  14775  cshwidxmodr  14776  cshwidx0  14778  cshwidxm1  14779  cshweqrep  14793  cshw1  14794  cshimadifsn  14802  cshimadifsn0  14803  cshco  14809  fzomaxdiflem  15316  fzomaxdif  15317  pwdif  15841  pwm1geoser  15842  fzo0dvdseq  16300  fzocongeq  16301  addmodlteqALT  16302  crth  16755  phimullem  16756  eulerthlem1  16758  eulerthlem2  16759  hashgcdlem  16765  hashgcdeq  16767  phisum  16768  reumodprminv  16782  modprm0  16783  nnnn0modprm0  16784  modprmn0modprm0  16785  prmgaplem7  17035  cshwshashlem2  17074  cshwshashlem3  17075  cshwrepswhash1  17080  psgnunilem5  19431  odf1o2  19510  odngen  19514  znf1o  21468  znunithash  21481  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumabs  25936  dchrisumlem1  27407  dchrisumlem2  27408  dchrisum  27410  pntlemq  27519  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemi  27522  pntlemf  27523  wlk1walk  29574  pthdadjvtx  29665  crctcshwlkn0lem3  29749  crctcshwlkn0lem4  29750  crctcshwlkn0lem5  29751  crctcshwlkn0lem6  29752  crctcshlem2  29755  crctcshwlkn0  29758  crctcshtrl  29760  crctcsh  29761  clwwlkccatlem  29925  clwwisshclwwslem  29950  clwwisshclwws  29951  eucrctshift  30179  eucrct2eupth  30181  ccatf1  32877  cshwrnid  32890  revpfxsfxrev  35110  revwlk  35119  poimirlem8  37629  poimirlem18  37639  poimirlem21  37642  poimirlem22  37643  poimirlem24  37645  frlmvscadiccat  42501  iblspltprt  45978  itgspltprt  45984  stoweidlem3  46008  fourierdlem12  46124  fourierdlem20  46132  fourierdlem46  46157  fourierdlem50  46161  fourierdlem54  46165  fourierdlem63  46174  fourierdlem64  46175  fourierdlem65  46176  fourierdlem76  46187  fourierdlem79  46190  fourierdlem102  46213  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem114  46225  iundjiun  46465  carageniuncllem1  46526  caratheodorylem1  46531  ormklocald  46879  ormkglobd  46880  natlocalincr  46881  natglobalincr  46882  zplusmodne  47348  p1modne  47352  m1modne  47353  minusmod5ne  47354  submodlt  47355  minusmodnep2tmod  47358  m1modmmod  47363  modmknepk  47367  mod2addne  47369  modm2nep1  47371  modm1nep2  47373  modm1nem2  47374  modm1p1ne  47375  iccpartipre  47426  iccpartiltu  47427  iccpartigtl  47428  iccpartgt  47432  icceuelpartlem  47440  icceuelpart  47441  iccpartnel  47443  fargshiftf1  47446  bgoldbtbndlem2  47811  upgrimpthslem2  47912  gpgiedgdmellem  48041  gpgvtx0  48048  gpgvtx1  48049  gpgedgvtx0  48056  gpgedgvtx1  48057  gpgvtxedg0  48058  gpgvtxedg1  48059  gpgedg2iv  48062  gpg5nbgrvtx13starlem2  48067  gpg3nbgrvtx0  48071  gpg5nbgrvtx03star  48075  gpg5nbgr3star  48076  pgnbgreunbgrlem2lem1  48108  pgnbgreunbgrlem2lem2  48109  pgnbgreunbgrlem2lem3  48110  fllog2  48561  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  nn0mullong  48618