Theorem gicer 19410

Description: Isomorphism is an equivalence relation on groups. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gicer	⊢ ≃𝑔 Er Grp

Proof of Theorem gicer

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gic 19393	. . . 4 ⊢ ≃𝑔 = (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o))
2		cnvimass 6082	. . . . 5 ⊢ (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ dom GrpIso
3		gimfn 19394	. . . . . 6 ⊢ GrpIso Fn (Grp × Grp)
4	3	fndmi 6640	. . . . 5 ⊢ dom GrpIso = (Grp × Grp)
5	2, 4	sseqtri 3982	. . . 4 ⊢ (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ (Grp × Grp)
6	1, 5	eqsstri 3980	. . 3 ⊢ ≃𝑔 ⊆ (Grp × Grp)
7		relxp 5677	. . 3 ⊢ Rel (Grp × Grp)
8		relss 5766	. . 3 ⊢ ( ≃𝑔 ⊆ (Grp × Grp) → (Rel (Grp × Grp) → Rel ≃𝑔 ))
9	6, 7, 8	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ≃𝑔
10		gicsym 19408	. 2 ⊢ (𝑥 ≃𝑔 𝑦 → 𝑦 ≃𝑔 𝑥)
11		gictr 19409	. 2 ⊢ ((𝑥 ≃𝑔 𝑦 ∧ 𝑦 ≃𝑔 𝑧) → 𝑥 ≃𝑔 𝑧)
12		gicref 19405	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Grp → 𝑥 ≃𝑔 𝑥)
13		giclcl 19406	. . 3 ⊢ (𝑥 ≃𝑔 𝑥 → 𝑥 ∈ Grp)
14	12, 13	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Grp ↔ 𝑥 ≃𝑔 𝑥)
15	9, 10, 11, 14	iseri 8728	1 ⊢ ≃𝑔 Er Grp

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  Rel wrel 5664  1_oc1o 8452   Er wer 8697  Grpcgrp 19063   GrpIso cgim 19390   ≃_𝑔 cgic 19391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-grp 19066  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-gic 19393

This theorem is used by: (None)