MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbdm 18409
Description: Domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbfval.l = (le‘𝐾)
glbfval.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbdm (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem glbdm
StepHypRef Expression
1 glbfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbfval.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 glbfval.p . . . 4 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbfval.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbfval 18408 . . 3 (𝜑𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
76dmeqd 5916 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
8 riotaex 7392 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
9 eqid 2737 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))
108, 9dmmpti 6712 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
1110ineq2i 4217 . . 3 ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12 dmres 6030 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)))
13 dfrab2 4320 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
1411, 12, 133eqtr4i 2775 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}
157, 14eqtrdi 2793 1 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  ∃!wreu 3378  {crab 3436  cin 3950  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  crio 7387  Basecbs 17247  lecple 17304  glbcglb 18356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-glb 18392
This theorem is referenced by:  glbeldm  18411  xrsclat  33013  isclatd  48872
  Copyright terms: Public domain W3C validator