MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbdm 18421
Description: Domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbfval.l = (le‘𝐾)
glbfval.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbdm (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem glbdm
StepHypRef Expression
1 glbfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbfval.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 glbfval.p . . . 4 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbfval.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbfval 18420 . . 3 (𝜑𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
76dmeqd 5918 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
8 riotaex 7391 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
9 eqid 2734 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))
108, 9dmmpti 6712 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
1110ineq2i 4224 . . 3 ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12 dmres 6031 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)))
13 dfrab2 4325 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
1411, 12, 133eqtr4i 2772 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}
157, 14eqtrdi 2790 1 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  ∃!wreu 3375  {crab 3432  cin 3961  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690  cfv 6562  crio 7386  Basecbs 17244  lecple 17304  glbcglb 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-glb 18404
This theorem is referenced by:  glbeldm  18423  xrsclat  32995  isclatd  48771
  Copyright terms: Public domain W3C validator