Theorem glbdm 18417

Description: Domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
glbfval.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbfval.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
glbfval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
glbdm	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem glbdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		glbfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		glbfval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		glbfval.p	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
5		glbfval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3, 4, 5	glbfval 18416	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}))
7	6	dmeqd 5896	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}))
8		riotaex 7372	. . . . 5 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) ∈ V
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
10	8, 9	dmmpti 6680	. . . 4 ⊢ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
11	10	ineq2i 4178	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12		dmres 6012	. . 3 ⊢ dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
13		dfrab2 4281	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2802	. 2 ⊢ dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}
15	7, 14	eqtrdi 2820	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∀wral 3085  ∃!wreu 3374  {crab 3423   ∩ cin 3912  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  Basecbs 17268  lecple 17316  glbcglb 18365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-glb 18400

This theorem is referenced by:  glbeldm  18419  xrsclat  33271  isclatd  49645