MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbdm 17870
Description: Domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbfval.l = (le‘𝐾)
glbfval.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbdm (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem glbdm
StepHypRef Expression
1 glbfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbfval.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 glbfval.p . . . 4 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbfval.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbfval 17869 . . 3 (𝜑𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
76dmeqd 5774 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
8 riotaex 7174 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
9 eqid 2737 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))
108, 9dmmpti 6522 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
1110ineq2i 4124 . . 3 ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12 dmres 5873 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)))
13 dfrab2 4225 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
1411, 12, 133eqtr4i 2775 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}
157, 14eqtrdi 2794 1 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {cab 2714  wral 3061  ∃!wreu 3063  {crab 3065  cin 3865  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135  dom cdm 5551  cres 5553  cfv 6380  crio 7169  Basecbs 16760  lecple 16809  glbcglb 17817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-glb 17853
This theorem is referenced by:  glbeldm  17872  xrsclat  31008  isclatd  45942
  Copyright terms: Public domain W3C validator