MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbfun 18422
Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
glbfun.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
glbfun Fun 𝐺

Proof of Theorem glbfun
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6605 . . . 4 Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2 funres 6609 . . . 4 (Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) → Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))}))
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))})
4 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2734 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 glbfun.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
7 biid 261 . . . . 5 ((∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
8 id 22 . . . . 5 (𝐾 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
94, 5, 6, 7, 8glbfval 18420 . . . 4 (𝐾 ∈ V → 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))}))
109funeqd 6589 . . 3 (𝐾 ∈ V → (Fun 𝐺 ↔ Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))})))
113, 10mpbiri 258 . 2 (𝐾 ∈ V → Fun 𝐺)
12 fun0 6632 . . 3 Fun ∅
13 fvprc 6898 . . . . 5 𝐾 ∈ V → (glb‘𝐾) = ∅)
146, 13eqtrid 2786 . . . 4 𝐾 ∈ V → 𝐺 = ∅)
1514funeqd 6589 . . 3 𝐾 ∈ V → (Fun 𝐺 ↔ Fun ∅))
1612, 15mpbiri 258 . 2 𝐾 ∈ V → Fun 𝐺)
1711, 16pm2.61i 182 1 Fun 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  ∃!wreu 3375  Vcvv 3477  c0 4338  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cres 5690  Fun wfun 6556  cfv 6562  crio 7386  Basecbs 17244  lecple 17304  glbcglb 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-glb 18404
This theorem is referenced by:  meetfval  18444  meetfval2  18445
  Copyright terms: Public domain W3C validator