MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbfun 17871
Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
glbfun.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
glbfun Fun 𝐺

Proof of Theorem glbfun
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6418 . . . 4 Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2 funres 6422 . . . 4 (Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) → Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))}))
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))})
4 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 glbfun.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
7 biid 264 . . . . 5 ((∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
8 id 22 . . . . 5 (𝐾 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
94, 5, 6, 7, 8glbfval 17869 . . . 4 (𝐾 ∈ V → 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))}))
109funeqd 6402 . . 3 (𝐾 ∈ V → (Fun 𝐺 ↔ Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))})))
113, 10mpbiri 261 . 2 (𝐾 ∈ V → Fun 𝐺)
12 fun0 6445 . . 3 Fun ∅
13 fvprc 6709 . . . . 5 𝐾 ∈ V → (glb‘𝐾) = ∅)
146, 13syl5eq 2790 . . . 4 𝐾 ∈ V → 𝐺 = ∅)
1514funeqd 6402 . . 3 𝐾 ∈ V → (Fun 𝐺 ↔ Fun ∅))
1612, 15mpbiri 261 . 2 𝐾 ∈ V → Fun 𝐺)
1711, 16pm2.61i 185 1 Fun 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {cab 2714  wral 3061  ∃!wreu 3063  Vcvv 3408  c0 4237  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cres 5553  Fun wfun 6374  cfv 6380  crio 7169  Basecbs 16760  lecple 16809  glbcglb 17817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-glb 17853
This theorem is referenced by:  meetfval  17893  meetfval2  17894
  Copyright terms: Public domain W3C validator