Theorem glbfun 18444

Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
glbfun.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbfun	⊢ Fun 𝐺

Proof of Theorem glbfun

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6581	. . . 4 ⊢ Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (℩𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2		funres 6585	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (℩𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) → Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (℩𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))}))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (℩𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))})
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		glbfun.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
7		biid 264	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
9	4, 5, 6, 7, 8	glbfval 18442	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (℩𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))}))
10	9	funeqd 6565	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (Fun 𝐺 ↔ Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (℩𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))})))
11	3, 10	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ V → Fun 𝐺)
12		fun0 6608	. . 3 ⊢ Fun ∅
13		fvprc 6880	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (glb‘𝐾) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2813	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → 𝐺 = ∅)
15	14	funeqd 6565	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (Fun 𝐺 ↔ Fun ∅))
16	12, 15	mpbiri 261	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → Fun 𝐺)
17	11, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ Fun 𝐺

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744  ∀wral 3082  ∃!wreu 3370  Vcvv 3458  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  ℩crio 7379  Basecbs 17294  lecple 17342  glbcglb 18391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-glb 18426

This theorem is used by:  meetfval  18466  meetfval2  18467