MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbfval 18315
Description: Value of the greatest lower function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
glbfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
glbfval.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
glbfval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
glbfval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbfval (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑧,𝐡   𝑦,𝑠,𝐾,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐡(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbfval.k . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
2 elex 3492 . 2 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ 𝐾 ∈ V)
3 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜πΎ))
4 glbfval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
53, 4eqtr4di 2790 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘) = 𝐡)
65pweqd 4619 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) = 𝒫 𝐡)
7 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘) = (leβ€˜πΎ))
8 glbfval.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
97, 8eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘) = ≀ )
109breqd 5159 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 β†’ (π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
1110ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦))
129breqd 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 β†’ (𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 ↔ 𝑧 ≀ 𝑦))
1312ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦))
149breqd 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 β†’ (𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯ ↔ 𝑧 ≀ π‘₯))
1513, 14imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
165, 15raleqbidv 3342 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
1711, 16anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
185, 17riotaeqbidv 7367 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 β†’ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯))) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
196, 18mpteq12dv 5239 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) ↦ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))))
2017reubidv 3394 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
21 reueq1 3415 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘) = 𝐡 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
2320, 22bitrd 278 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
2423abbidv 2801 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 β†’ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯))} = {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))})
2519, 24reseq12d 5982 . . . 4 (𝑝 = 𝐾 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) ↦ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯))}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))}))
26 df-glb 18299 . . . 4 glb = (𝑝 ∈ V ↦ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) ↦ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯(leβ€˜π‘)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧(leβ€˜π‘)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜π‘)π‘₯))}))
274fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
2827pwex 5378 . . . . . 6 𝒫 𝐡 ∈ V
2928mptex 7224 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) ∈ V
3029resex 6029 . . . 4 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))}) ∈ V
3125, 26, 30fvmpt 6998 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (glbβ€˜πΎ) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))}))
32 glbfval.g . . 3 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
33 glbfval.p . . . . . . 7 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
3433a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
3534riotabiia 7385 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
3635mpteq2i 5253 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
3733reubii 3385 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
3837abbii 2802 . . . 4 {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} = {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))}
3936, 38reseq12i 5979 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))})
4031, 32, 393eqtr4g 2797 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
411, 2, 403syl 18 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3374  Vcvv 3474  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  Basecbs 17143  lecple 17203  glbcglb 18262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-glb 18299
This theorem is referenced by:  glbdm  18316  glbfun  18317  glbval  18321  meet0  18358  odulub  18359  oduglb  18361
  Copyright terms: Public domain W3C validator