MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbfval 17259
Description: Value of the greatest lower function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbfval.l = (le‘𝐾)
glbfval.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbfval (𝜑𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbfval.k . 2 (𝜑𝐾𝑉)
2 elex 3365 . 2 (𝐾𝑉𝐾 ∈ V)
3 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = (Base‘𝐾))
4 glbfval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
53, 4syl6eqr 2817 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = 𝐵)
65pweqd 4320 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → 𝒫 (Base‘𝑝) = 𝒫 𝐵)
7 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = (le‘𝐾))
8 glbfval.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
97, 8syl6eqr 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = )
109breqd 4820 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥(le‘𝑝)𝑦𝑥 𝑦))
1110ralbidv 3133 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦))
129breqd 4820 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧 𝑦))
1312ralbidv 3133 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦))
149breqd 4820 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (𝑧(le‘𝑝)𝑥𝑧 𝑥))
1513, 14imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
165, 15raleqbidv 3300 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1711, 16anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
185, 17riotaeqbidv 6806 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥))) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
196, 18mpteq12dv 4892 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))))
2017reubidv 3274 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
21 reueq1 3288 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑝) = 𝐵 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
2320, 22bitrd 270 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
2423abbidv 2884 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥))} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
2519, 24reseq12d 5566 . . . 4 (𝑝 = 𝐾 → ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥))}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
26 df-glb 17243 . . . 4 glb = (𝑝 ∈ V ↦ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑥(le‘𝑝)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑧(le‘𝑝)𝑦𝑧(le‘𝑝)𝑥))}))
274fvexi 6389 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2827pwex 5016 . . . . . 6 𝒫 𝐵 ∈ V
2928mptex 6679 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ∈ V
3029resex 5620 . . . 4 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}) ∈ V
3125, 26, 30fvmpt 6471 . . 3 (𝐾 ∈ V → (glb‘𝐾) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
32 glbfval.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
33 glbfval.p . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
3534riotabiia 6820 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
3635mpteq2i 4900 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
3733reubii 3276 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
3837abbii 2882 . . . 4 {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}
3936, 38reseq12i 5563 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
4031, 32, 393eqtr4g 2824 . 2 (𝐾 ∈ V → 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
411, 2, 403syl 18 1 (𝜑𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wral 3055  ∃!wreu 3057  Vcvv 3350  𝒫 cpw 4315   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cres 5279  cfv 6068  crio 6802  Basecbs 16132  lecple 16223  glbcglb 17211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-glb 17243
This theorem is referenced by:  glbdm  17260  glbfun  17261  glbval  17265  meet0  17405  oduglb  17407  odulub  17409
  Copyright terms: Public domain W3C validator