Theorem riota2 7394

Description: This theorem shows a condition that allows to represent a descriptor with a class expression 𝐵. (Contributed by NM, 23-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
riota2.1	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
riota2	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (𝜓 ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riota2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2924	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
2		nfv 1943	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		riota2.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	riota2f 7393	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (𝜓 ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃!wreu 3366  ℩crio 7368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-v 3456  df-un 3909  df-ss 3921  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4872  df-iota 6492  df-riota 7369

This theorem is used by:  eqsup  9414  sup0  9425  ttrcltr  9683  fin23lem22  10317  subadd  11466  divmul  11881  fllelt  13837  flflp1  13847  flval2  13854  flbi  13856  remim  15175  resqrtcl  15311  resqrtthlem  15312  sqrtneg  15325  sqrtthlem  15421  divalgmod  16470  qnumdenbi  16809  catidd  17742  lubprop  18418  glbprop  18431  poslubd  18473  isglbd  18571  ismgmid  18729  isgrpinv  19066  pj1id  19775  evlsval3  22251  coeeq  26395  cutbday  27988  eqcuts  27989  cutsun12  27994  cutbdaylt  28002  divmulsw  28397  ismir  28947  mireq  28953  ismidb  29098  islmib  29107  usgredg2vlem2  29587  frgrncvvdeqlem3  30663  frgr2wwlkeqm  30693  cnidOLD  30945  hilid  31524  pjpreeq  31761  cnvbraval  32473  cdj3lem2  32798  xdivmul  33255  cvmliftphtlem  35817  cvmlift3lem4  35822  cvmlift3lem6  35824  cvmlift3lem9  35827  transportprops  36534  ltflcei  38287  cmpidelt  38538  exidresid  38558  lshpkrlem1  39912  cdlemeiota  41387  dochfl1  42278  hgmapvs  42693  renegadd  43161  resubadd  43168  addinvcom  43221  redivmuld  43234  fsuppind  43350  wessf1ornlem  45931  fourierdlem50  46898