Theorem gsumcllem 20022

Description: Lemma for gsumcl 20029 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 31-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcllem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumcllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcllem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
gsumcllem.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
gsumcllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcllem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	feqmptd 6953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
4		difeq2 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑊) = (𝐴 ∖ ∅))
5		dif0 4334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
6	4, 5	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑊) = 𝐴)
7	6	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
8	7	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊))
9		gsumcllem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
10		gsumcllem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		gsumcllem.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
12	1, 9, 10, 11	suppssr 8197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
13	8, 12	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
14	13	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
15	14	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑍))
16	3, 15	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   supp csupp 8162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-supp 8163

This theorem is used by:  gsumzres  20023  gsumzcl2  20024  gsumzf1o  20026  gsumzaddlem  20035  gsumzmhm  20051  gsumzoppg  20058