Theorem gsumzcl2 20124

Description: Closure of a finite group sum. This theorem has a weaker hypothesis than gsumzcl 20125, because it is not required that 𝐹 is a function (actually, the hypothesis always holds for any proper class 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl2.w	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumzcl2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumzcl.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		gsumzcl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	3	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
6		ssidd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
7	1, 2, 5, 6	gsumcllem 20122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 ))
8	7	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
9		gsumzcl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	3	gsumz 19032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
11	9, 2, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
13	8, 12	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
14		gsumzcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14, 3	mndidcl 18939	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
16	9, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 0 ∈ 𝐵)
18	13, 17	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
19	18	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21		gsumzcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
22	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
23	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
24	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
25		gsumzcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
27		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
28		f1of1 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
29	28	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
30		suppssdm 8194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
31	30, 1	fssdm 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
33		f1ss 6785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→𝐴)
34	29, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→𝐴)
35		ssid 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
36		f1ofo 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
37		forn 6799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
39	38	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
40	35, 39	sseqtrrid 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
41		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 ) = ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 )
42	14, 3, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 34, 40, 41	gsumval3 20121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
43		nnuz 13004	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
44	27, 43	eleqtrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ (ℤ≥‘1))
45		f1f 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
46	34, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
47		fco 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
48	24, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
49	48	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝐵)
50	14, 20	mndcl 18931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑘(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
51	50	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑘(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
52	22, 51	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑘(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
53	44, 49, 52	seqcl 14165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ∈ 𝐵)
54	42, 53	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
55	54	expr 462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
56	55	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
57	56	expimpd 459	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
58		gsumzcl2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
59		fz1f1o 15876	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
60	58, 59	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
61	19, 57, 60	mpjaod 874	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177  Fincfn 8973  1c1 11201  ℕcn 12335  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  seqcseq 14144  ♯chash 14474  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  Cntzccntz 19529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-cntz 19531

This theorem is used by:  gsumzcl  20125  gsumcl2  20128