Theorem gsumzcl2 20026

Description: Closure of a finite group sum. This theorem has a weaker hypothesis than gsumzcl 20027, because it is not required that 𝐹 is a function (actually, the hypothesis always holds for any proper class 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl2.w	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumzcl2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		gsumzcl.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		gsumzcl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	3	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
6		ssidd 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
7	1, 2, 5, 6	gsumcllem 20024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 ))
8	7	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
9		gsumzcl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	3	gsumz 18934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
11	9, 2, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
13	8, 12	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
14		gsumzcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14, 3	mndidcl 18842	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
16	9, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 0 ∈ 𝐵)
18	13, 17	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
19	18	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
20		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21		gsumzcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
22	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
23	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
24	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
25		gsumzcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
27		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
28		f1of1 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
29	28	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
30		suppssdm 8179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
31	30, 1	fssdm 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
33		f1ss 6785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→𝐴)
34	29, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→𝐴)
35		ssid 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
36		f1ofo 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
37		forn 6799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
39	38	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
40	35, 39	sseqtrrid 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
41		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 ) = ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 )
42	14, 3, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 34, 40, 41	gsumval3 20023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
43		nnuz 12919	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
44	27, 43	eleqtrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ (ℤ≥‘1))
45		f1f 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
46	34, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
47		fco 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
48	24, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
49	48	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑘) ∈ 𝐵)
50	14, 20	mndcl 18834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑘(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
51	50	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑘(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
52	22, 51	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑘(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
53	44, 49, 52	seqcl 14078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ∈ 𝐵)
54	42, 53	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
55	54	expr 462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
56	55	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
57	56	expimpd 459	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
58		gsumzcl2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
59		fz1f1o 15786	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
60	58, 59	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
61	19, 57, 60	mpjaod 874	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   supp csupp 8162  Fincfn 8949  1c1 11118  ℕcn 12250  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057  ♯chash 14386  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  0_gc0g 17516   Σ_g cgsu 17517  Mndcmnd 18826  Cntzccntz 19431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-cntz 19433

This theorem is used by:  gsumzcl  20027  gsumcl2  20030