MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzcl2 18517
Description: Closure of a finite group sum. This theorem has a weaker hypothesis than gsumzcl 18518, because it is not required that 𝐹 is a function (actually, the hypothesis always holds for any proper class 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl2.w (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
gsumzcl2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl2
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
4 fvex 6342 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
53, 4eqeltri 2846 . . . . . . . 8 0 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
7 ssid 3773 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
91, 2, 6, 8gsumcllem 18515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
109oveq2d 6808 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
11 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
123gsumz 17581 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1311, 2, 12syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1413adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1510, 14eqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
16 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1716, 3mndidcl 17515 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
1811, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
1918adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 0𝐵)
2015, 19eqeltrd 2850 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
2120ex 397 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
22 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
23 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
2411adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
252adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
261adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
27 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2827adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
29 simprl 746 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
30 f1of1 6277 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
3130ad2antll 700 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
32 suppssdm 7458 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
33 fdm 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3532, 34syl5sseq 3802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
3635adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
37 f1ss 6246 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
3831, 36, 37syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
39 f1ofo 6285 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
40 forn 6259 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
4241ad2antll 700 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
437, 42syl5sseqr 3803 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
44 eqid 2771 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
4516, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 38, 43, 44gsumval3 18514 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
46 nnuz 11924 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
4729, 46syl6eleq 2860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ (ℤ‘1))
48 f1f 6241 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
4938, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
50 fco 6198 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
5126, 49, 50syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
5251ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝐵)
5316, 22mndcl 17508 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘𝐵𝑥𝐵) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
54533expb 1113 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑘𝐵𝑥𝐵)) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
5524, 54sylan 561 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ (𝑘𝐵𝑥𝐵)) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
5647, 52, 55seqcl 13027 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ∈ 𝐵)
5745, 56eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
5857expr 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
5958exlimdv 2013 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
6059expimpd 441 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
61 gsumzcl2.w . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
62 fz1f1o 14648 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
6361, 62syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
6421, 60, 63mpjaod 839 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  ccom 5253  wf 6027  1-1wf1 6028  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792   supp csupp 7445  Fincfn 8108  1c1 10138  cn 11221  cuz 11887  ...cfz 12532  seqcseq 13007  chash 13320  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307   Σg cgsu 16308  Mndcmnd 17501  Cntzccntz 17954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-cntz 17956
This theorem is referenced by:  gsumzcl  18518  gsumcl2  18521
  Copyright terms: Public domain W3C validator