MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzcl2 18959
Description: Closure of a finite group sum. This theorem has a weaker hypothesis than gsumzcl 18960, because it is not required that 𝐹 is a function (actually, the hypothesis always holds for any proper class 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl2.w (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
gsumzcl2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl2
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
43fvexi 6677 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
6 ssidd 3987 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
71, 2, 5, 6gsumcllem 18957 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
87oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
9 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
103gsumz 17988 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
119, 2, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
138, 12eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
14 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1514, 3mndidcl 17914 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
169, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
1716adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 0𝐵)
1813, 17eqeltrd 2910 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
1918ex 413 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
20 eqid 2818 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
21 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
229adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
232adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
25 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
27 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
28 f1of1 6607 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
2928ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
30 suppssdm 7832 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
3130, 1fssdm 6523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
33 f1ss 6573 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
3429, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
35 ssid 3986 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
36 f1ofo 6615 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
37 forn 6586 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
3938ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
4035, 39sseqtrrid 4017 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
41 eqid 2818 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
4214, 3, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 34, 40, 41gsumval3 18956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
43 nnuz 12269 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
4427, 43eleqtrdi 2920 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ (ℤ‘1))
45 f1f 6568 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
4634, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
47 fco 6524 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
4824, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐵)
4948ffvelrnda 6843 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝐵)
5014, 20mndcl 17907 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘𝐵𝑥𝐵) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
51503expb 1112 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑘𝐵𝑥𝐵)) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
5222, 51sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) ∧ (𝑘𝐵𝑥𝐵)) → (𝑘(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
5344, 49, 52seqcl 13378 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) ∈ 𝐵)
5442, 53eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
5554expr 457 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
5655exlimdv 1925 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
5756expimpd 454 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵))
58 gsumzcl2.w . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
59 fz1f1o 15055 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
6058, 59syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
6119, 57, 60mpjaod 854 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  cmpt 5137  ran crn 5549  ccom 5552  wf 6344  1-1wf1 6345  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497  1c1 10526  cn 11626  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  chash 13678  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  Cntzccntz 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-cntz 18385
This theorem is referenced by:  gsumzcl  18960  gsumcl2  18963
  Copyright terms: Public domain W3C validator