MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzoppg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzoppg 19728
Description: The opposite of a group sum is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzoppg.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzoppg.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzoppg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzoppg.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
gsumzoppg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzoppg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzoppg.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzoppg.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzoppg.n (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzoppg (πœ‘ β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))

Proof of Theorem gsumzoppg
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzoppg.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzoppg.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
32oppgmnd 19142 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
5 gsumzoppg.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 gsumzoppg.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜πΊ)
72, 6oppgid 19144 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘‚)
87gsumz 18653 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
94, 5, 8syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑂 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
106gsumz 18653 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
111, 5, 10syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
129, 11eqtr4d 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑂 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
1312adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝑂 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
14 gsumzoppg.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
156fvexi 6861 . . . . . . 7 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
17 ssid 3971 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))
1814, 5fexd 7182 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
19 suppimacnv 8110 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 supp 0 ) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2018, 15, 19sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2120sseq1d 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ↔ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))
2217, 21mpbiri 258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2314, 5, 16, 22gsumcllem 19692 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 ))
2423oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝑂 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
2523oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
2613, 24, 253eqtr4d 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
2726ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹)))
28 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•)
29 nnuz 12813 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3028, 29eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
32 ffn 6673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
33 dffn4 6767 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
35 fof 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
3631, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
371adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
38 gsumzoppg.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3938submacs 18644 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
40 acsmre 17539 . . . . . . . . . . . 12 ((SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
4137, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))
4331frnd 6681 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
4441, 42, 43mrcssidd 17512 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝐹 βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
4536, 44fssd 6691 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐹:𝐴⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
46 f1of1 6788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
4746ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
48 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† dom 𝐹
4948, 31fssdm 6693 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴)
50 f1ss 6749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
5147, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
52 f1f 6743 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴)
54 fco 6697 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
5545, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
5655ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
5742mrccl 17498 . . . . . . . . . 10 (((SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5841, 43, 57syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
592oppgsubm 19150 . . . . . . . . 9 (SubMndβ€˜πΊ) = (SubMndβ€˜π‘‚)
6058, 59eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜π‘‚))
61 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
6261submcl 18630 . . . . . . . . 9 ((((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
63623expb 1121 . . . . . . . 8 ((((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ∧ (π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
6460, 63sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ (π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
65 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
6665, 2, 61oppgplus 19134 . . . . . . . . 9 (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)
67 gsumzoppg.c . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
69 gsumzoppg.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
70 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) = (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
7169, 42, 70cntzspan 19629 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd)
7237, 68, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd)
7370, 69submcmn2 19624 . . . . . . . . . . . . 13 (((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))))
7458, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))))
7572, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)))
7675sselda 3949 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)))
7765, 69cntzi 19116 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
7876, 77sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
7966, 78eqtr4id 2796 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
8079anasss 468 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ (π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
8130, 56, 64, 80seqfeq4 13964 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (seq1((+gβ€˜π‘‚), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
822, 38oppgbas 19137 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚)
83 eqid 2737 . . . . . . 7 (Cntzβ€˜π‘‚) = (Cntzβ€˜π‘‚)
8437, 3syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
855adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
862, 69oppgcntz 19152 . . . . . . . 8 (π‘β€˜ran 𝐹) = ((Cntzβ€˜π‘‚)β€˜ran 𝐹)
8768, 86sseqtrdi 3999 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘‚)β€˜ran 𝐹))
88 suppssdm 8113 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
8920, 88eqsstrrdi 4004 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† dom 𝐹)
9014, 89fssdmd 6692 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴)
9190adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴)
9247, 91, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
9321adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ↔ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))
9417, 93mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
95 f1ofo 6796 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
96 forn 6764 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
9897sseq2d 3981 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† ran 𝑓 ↔ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))
9998ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† ran 𝑓 ↔ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))
10094, 99mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ran 𝑓)
101 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 ) = ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 )
10282, 7, 61, 83, 84, 85, 31, 87, 28, 92, 100, 101gsumval3 19691 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (seq1((+gβ€˜π‘‚), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
10322adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
104103, 99mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ran 𝑓)
10538, 6, 65, 69, 37, 85, 31, 68, 28, 92, 104, 101gsumval3 19691 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
10681, 102, 1053eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
107106expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹)))
108107exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹)))
109108expimpd 455 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹)))
110 gsumzoppg.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
111110fsuppimpd 9319 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
11220, 111eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin)
113 fz1f1o 15602 . . 3 ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… ∨ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
114112, 113syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… ∨ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
11527, 109, 114mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ (𝑂 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   supp csupp 8097  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9312  1c1 11059  β„•cn 12160  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β™―chash 14237  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  +gcplusg 17140  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Moorecmre 17469  mrClscmrc 17470  ACScacs 17472  Mndcmnd 18563  SubMndcsubmnd 18607  Cntzccntz 19102  oppgcoppg 19130  CMndccmn 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-cmn 19571
This theorem is referenced by:  gsumzinv  19729
  Copyright terms: Public domain W3C validator