Theorem gsumcl 19948

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
7	6	fsuppimpd 9407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	gsumcl2 19947	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  CMndccmn 19813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cntz 19348  df-cmn 19815

This theorem is referenced by:  gsummhm2  19972  gsumsub  19981  gsummptcl  20000  prdsgsum  20014  gsumdixp  20333  frlmphl  21819  frlmup1  21836  islindf4  21876  psrass1lem  21970  rhmpsrlem2  21979  psrbagev2  22120  evlslem3  22122  evlslem1  22124  psdmul  22188  gsumsmonply1  22327  pmatcollpw1  22798  pm2mpcl  22819  mply1topmatcl  22827  mp2pm2mplem2  22829  mp2pm2mp  22833  pm2mpmhmlem2  22841  cayhamlem4  22910  tsmslem1  24153  tsmsgsum  24163  tsmsid  24164  tsmssubm  24167  tsmsxplem1  24177  tsmsxplem2  24178  imasdsf1olem  24399  xrge0gsumle  24869  xrge0tsms  24870  amgm  27049  lgseisenlem3  27436  lgseisenlem4  27437  gsumfs2d  33041  xrge0tsmsd  33048  gsumle  33084  gsumvsca1  33215  gsumvsca2  33216  elrgspnlem1  33232  unitprodclb  33397  elrspunidl  33436  rprmdvdsprod  33542  1arithidomlem1  33543  1arithidom  33545  1arithufdlem3  33554  dfufd2lem  33557  evl1deg2  33582  matunitlindflem1  37603  pwsgprod  42531  evlsvvvallem  42548  selvvvval  42572  evlselv  42574  mnringmulrcld  44224  gsumge0cl  46327  ply1mulgsum  48236  lincfsuppcl  48259  linccl  48260  lincresunit3  48327  amgmlemALT  49034