Theorem gsumcl 19933

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
7	6	fsuppimpd 9409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	gsumcl2 19932	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cntz 19335  df-cmn 19800

This theorem is referenced by:  gsummhm2  19957  gsumsub  19966  gsummptcl  19985  prdsgsum  19999  gsumdixp  20316  frlmphl  21801  frlmup1  21818  islindf4  21858  psrass1lem  21952  rhmpsrlem2  21961  psrbagev2  22102  evlslem3  22104  evlslem1  22106  psdmul  22170  gsumsmonply1  22311  pmatcollpw1  22782  pm2mpcl  22803  mply1topmatcl  22811  mp2pm2mplem2  22813  mp2pm2mp  22817  pm2mpmhmlem2  22825  cayhamlem4  22894  tsmslem1  24137  tsmsgsum  24147  tsmsid  24148  tsmssubm  24151  tsmsxplem1  24161  tsmsxplem2  24162  imasdsf1olem  24383  xrge0gsumle  24855  xrge0tsms  24856  amgm  27034  lgseisenlem3  27421  lgseisenlem4  27422  gsumfs2d  33058  xrge0tsmsd  33065  gsumle  33101  gsumvsca1  33232  gsumvsca2  33233  elrgspnlem1  33246  elrgspn  33250  unitprodclb  33417  elrspunidl  33456  rprmdvdsprod  33562  1arithidomlem1  33563  1arithidom  33565  1arithufdlem3  33574  dfufd2lem  33577  evl1deg2  33602  matunitlindflem1  37623  pwsgprod  42554  evlsvvvallem  42571  selvvvval  42595  evlselv  42597  mnringmulrcld  44247  gsumge0cl  46386  ply1mulgsum  48307  lincfsuppcl  48330  linccl  48331  lincresunit3  48398  amgmlemALT  49322