Theorem gsumcl 20138

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
7	6	fsuppimpd 9368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	gsumcl2 20137	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17396  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  CMndccmn 20003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-cntz 19540  df-cmn 20005

This theorem is used by:  gsummhm2  20162  gsumsub  20171  gsummptcl  20190  prdsgsum  20204  gsumle  20368  gsumdixp  20557  pwsgprod  20568  frlmphl  22096  frlmup1  22113  islindf4  22153  psrass1lem  22250  rhmpsrlem2  22258  psrbagev2  22396  evlslem3  22398  evlslem1  22400  evlsvvvallem  22409  selvvvval  22460  psdmul  22496  gsumsmonply1  22634  matunitlindflem1  23003  pmatcollpw1  23103  pm2mpcl  23124  mply1topmatcl  23132  mp2pm2mplem2  23134  mp2pm2mp  23138  pm2mpmhmlem2  23146  cayhamlem4  23215  tsmslem1  24457  tsmsgsum  24467  tsmsid  24468  tsmssubm  24471  tsmsxplem1  24481  tsmsxplem2  24482  imasdsf1olem  24701  xrge0gsumle  25162  xrge0tsms  25163  amgm  27327  lgseisenlem3  27713  lgseisenlem4  27714  gsumfs2d  33672  gsummulsubdishift2  33680  xrge0tsmsd  33684  gsumvsca1  33837  gsumvsca2  33838  elrgspnlem1  33853  elrgspn  33857  unitprodclb  33994  elrspunidl  34028  rprmdvdsprod  34116  1arithidomlem1  34117  1arithidom  34119  1arithufdlem3  34128  dfufd2lem  34131  evl1deg2  34159  evlextv  34224  psrgsum  34230  extdgfialglem2  34375  evlselv  43726  mnringmulrcld  45335  gsumge0cl  47489  ply1mulgsum  49610  lincfsuppcl  49633  linccl  49634  lincresunit3  49701  amgmlemALT  51171