Theorem gsumcl 20029

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
7	6	fsuppimpd 9336	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	gsumcl2 20028	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   finSupp cfsupp 9328  Basecbs 17291  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  CMndccmn 19894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-cntz 19431  df-cmn 19896

This theorem is used by:  gsummhm2  20053  gsumsub  20062  gsummptcl  20081  prdsgsum  20095  gsumle  20259  gsumdixp  20446  pwsgprod  20457  frlmphl  21981  frlmup1  21998  islindf4  22038  psrass1lem  22133  rhmpsrlem2  22141  psrbagev2  22279  evlslem3  22281  evlslem1  22283  evlsvvvallem  22292  selvvvval  22343  psdmul  22379  gsumsmonply1  22517  pmatcollpw1  22983  pm2mpcl  23004  mply1topmatcl  23012  mp2pm2mplem2  23014  mp2pm2mp  23018  pm2mpmhmlem2  23026  cayhamlem4  23095  tsmslem1  24337  tsmsgsum  24347  tsmsid  24348  tsmssubm  24351  tsmsxplem1  24361  tsmsxplem2  24362  imasdsf1olem  24581  xrge0gsumle  25042  xrge0tsms  25043  amgm  27206  lgseisenlem3  27592  lgseisenlem4  27593  gsumfs2d  33445  gsummulsubdishift2  33453  xrge0tsmsd  33457  gsumvsca1  33610  gsumvsca2  33611  elrgspnlem1  33626  elrgspn  33630  unitprodclb  33766  elrspunidl  33800  rprmdvdsprod  33888  1arithidomlem1  33889  1arithidom  33891  1arithufdlem3  33900  dfufd2lem  33903  evl1deg2  33931  evlextv  33996  psrgsum  34002  extdgfialglem2  34147  matunitlindflem1  38324  evlselv  43379  mnringmulrcld  45010  gsumge0cl  47143  ply1mulgsum  49227  lincfsuppcl  49250  linccl  49251  lincresunit3  49318  amgmlemALT  50708