MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzmhm 19805
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzmhm.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzmhm.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzmhm.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
gsumzmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzmhm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsumzmhm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzmhm.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzmhm.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzmhm.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzmhm (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzmhm
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzmhm.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2 gsumzmhm.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
43gsumz 18717 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
51, 2, 4syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
7 gsumzmhm.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
8 gsumzmhm.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
98, 3mhm0 18680 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
107, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
1110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
126, 11eqtr4d 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (πΎβ€˜ 0 ))
13 gsumzmhm.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
14 gsumzmhm.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
1514, 8mndidcl 18640 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
18 gsumzmhm.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
198fvexi 6906 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2118, 2fexd 7229 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
22 suppimacnv 8159 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 supp 0 ) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2321, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
24 ssid 4005 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))
2523, 24eqsstrdi 4037 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2618, 2, 20, 25gsumcllem 19776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 ))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
2814, 27mhmf 18677 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) β†’ 𝐾:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
297, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
3029feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΎβ€˜π‘₯)))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ 𝐾 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΎβ€˜π‘₯)))
32 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜π‘₯) = (πΎβ€˜ 0 ))
3317, 26, 31, 32fmptco 7127 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΎβ€˜ 0 )))
3410mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΎβ€˜ 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»)))
3534adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΎβ€˜ 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»)))
3633, 35eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»)))
3736oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))))
3826oveq2d 7425 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
398gsumz 18717 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
4013, 2, 39syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
4140adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
4238, 41eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = 0 )
4342fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)) = (πΎβ€˜ 0 ))
4412, 37, 433eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
4544ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
4613adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
47 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4814, 47mndcl 18633 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
49483expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
5046, 49sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
51 f1of1 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
5251ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
53 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† dom 𝐹
5418adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5553, 54fssdm 6738 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴)
56 f1ss 6794 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
5752, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
58 f1f 6788 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴)
60 fco 6742 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐡)
6118, 59, 60syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐡)
6261ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
63 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•)
64 nnuz 12865 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6563, 64eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
667adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
67 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
6814, 47, 67mhmlin 18679 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΎβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π»)(πΎβ€˜π‘¦)))
69683expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΎβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π»)(πΎβ€˜π‘¦)))
7066, 69sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΎβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π»)(πΎβ€˜π‘¦)))
71 coass 6265 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) = (𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))
7271fveq1i 6893 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = ((𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘₯)
73 fvco3 6991 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯)))
7461, 73sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯)))
7572, 74eqtr2id 2786 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ (πΎβ€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯)) = (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓)β€˜π‘₯))
7650, 62, 65, 70, 75seqhomo 14015 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) = (seq1((+gβ€˜π»), ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
77 gsumzmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
782adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
79 gsumzmhm.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
8079adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
8125adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
82 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
83 forn 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
8584ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
8681, 85sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ran 𝑓)
87 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 ) = ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 )
8814, 8, 47, 77, 46, 78, 54, 80, 63, 57, 86, 87gsumval3 19775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
8988fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)) = (πΎβ€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))))
90 eqid 2733 . . . . . . 7 (Cntzβ€˜π») = (Cntzβ€˜π»)
911adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
92 fco 6742 . . . . . . . 8 ((𝐾:𝐡⟢(Baseβ€˜π») ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
9329, 54, 92syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
9477, 90cntzmhm2 19206 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐾 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜(𝐾 β€œ ran 𝐹)))
957, 80, 94syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐾 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜(𝐾 β€œ ran 𝐹)))
96 rnco2 6253 . . . . . . . 8 ran (𝐾 ∘ 𝐹) = (𝐾 β€œ ran 𝐹)
9796fveq2i 6895 . . . . . . . 8 ((Cntzβ€˜π»)β€˜ran (𝐾 ∘ 𝐹)) = ((Cntzβ€˜π»)β€˜(𝐾 β€œ ran 𝐹))
9895, 96, 973sstr4g 4028 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran (𝐾 ∘ 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜ran (𝐾 ∘ 𝐹)))
99 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
100 fvco3 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
10154, 99, 100syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
10219a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 0 ∈ V)
10354, 81, 78, 102suppssr 8181 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
104103fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΎβ€˜ 0 ))
10510ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
106101, 104, 1053eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π»))
10793, 106suppss 8179 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹) supp (0gβ€˜π»)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
108107, 85sseqtrrd 4024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹) supp (0gβ€˜π»)) βŠ† ran 𝑓)
109 eqid 2733 . . . . . . 7 (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) supp (0gβ€˜π»)) = (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) supp (0gβ€˜π»))
11027, 3, 67, 90, 91, 78, 93, 98, 63, 57, 108, 109gsumval3 19775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (seq1((+gβ€˜π»), ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
11176, 89, 1103eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
112111expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
113112exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
114113expimpd 455 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
115 gsumzmhm.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
116115fsuppimpd 9369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
11723, 116eqeltrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin)
118 fz1f1o 15656 . . 3 ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… ∨ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
119117, 118syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… ∨ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
12045, 114, 119mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  1c1 11111  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966  β™―chash 14290  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  Cntzccntz 19179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-cntz 19181
This theorem is referenced by:  gsummhm  19806  gsumzinv  19813
  Copyright terms: Public domain W3C validator