MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzmhm 19846
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzmhm.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzmhm.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzmhm.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
gsumzmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzmhm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsumzmhm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzmhm.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzmhm.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzmhm.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzmhm (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzmhm
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzmhm.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2 gsumzmhm.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
43gsumz 18753 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
51, 2, 4syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
7 gsumzmhm.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
8 gsumzmhm.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
98, 3mhm0 18716 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
107, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
126, 11eqtr4d 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))) = (πΎβ€˜ 0 ))
13 gsumzmhm.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
14 gsumzmhm.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
1514, 8mndidcl 18674 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
1716ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
18 gsumzmhm.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
198fvexi 6904 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2118, 2fexd 7230 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
22 suppimacnv 8161 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 supp 0 ) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2321, 20, 22syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
24 ssid 4003 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))
2523, 24eqsstrdi 4035 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
2618, 2, 20, 25gsumcllem 19817 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 ))
27 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
2814, 27mhmf 18711 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) β†’ 𝐾:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
297, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾:𝐡⟢(Baseβ€˜π»))
3029feqmptd 6959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΎβ€˜π‘₯)))
3130adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ 𝐾 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΎβ€˜π‘₯)))
32 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (πΎβ€˜π‘₯) = (πΎβ€˜ 0 ))
3317, 26, 31, 32fmptco 7128 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΎβ€˜ 0 )))
3410mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΎβ€˜ 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»)))
3534adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΎβ€˜ 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»)))
3633, 35eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»)))
3736oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐻 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜π»))))
3826oveq2d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )))
398gsumz 18753 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
4013, 2, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
4140adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )
4238, 41eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = 0 )
4342fveq2d 6894 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)) = (πΎβ€˜ 0 ))
4412, 37, 433eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ…) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
4544ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
4613adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
47 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4814, 47mndcl 18667 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
49483expb 1118 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
5046, 49sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
51 f1of1 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
5251ad2antll 725 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
53 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† dom 𝐹
5418adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5553, 54fssdm 6736 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴)
56 f1ss 6792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1β†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∧ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
5752, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴)
58 f1f 6786 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴)
60 fco 6740 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐡)
6118, 59, 60syl2an2r 681 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐡)
6261ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
63 simprl 767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•)
64 nnuz 12869 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6563, 64eleqtrdi 2841 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
667adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
67 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
6814, 47, 67mhmlin 18715 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΎβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π»)(πΎβ€˜π‘¦)))
69683expb 1118 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΎβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π»)(πΎβ€˜π‘¦)))
7066, 69sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΎβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π»)(πΎβ€˜π‘¦)))
71 coass 6263 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) = (𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))
7271fveq1i 6891 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = ((𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘₯)
73 fvco3 6989 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯)))
7461, 73sylan 578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ ((𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯)))
7572, 74eqtr2id 2783 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) β†’ (πΎβ€˜((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯)) = (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓)β€˜π‘₯))
7650, 62, 65, 70, 75seqhomo 14019 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))) = (seq1((+gβ€˜π»), ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
77 gsumzmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
782adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
79 gsumzmhm.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
8079adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
8125adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
82 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
83 forn 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
8584ad2antll 725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran 𝑓 = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
8681, 85sseqtrrd 4022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ran 𝑓)
87 eqid 2730 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 ) = ((𝐹 ∘ 𝑓) supp 0 )
8814, 8, 47, 77, 46, 78, 54, 80, 63, 57, 86, 87gsumval3 19816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
8988fveq2d 6894 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)) = (πΎβ€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (𝐹 ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))))
90 eqid 2730 . . . . . . 7 (Cntzβ€˜π») = (Cntzβ€˜π»)
911adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
92 fco 6740 . . . . . . . 8 ((𝐾:𝐡⟢(Baseβ€˜π») ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
9329, 54, 92syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐹):𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
9477, 90cntzmhm2 19247 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐾 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜(𝐾 β€œ ran 𝐹)))
957, 80, 94syl2an2r 681 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐾 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜(𝐾 β€œ ran 𝐹)))
96 rnco2 6251 . . . . . . . 8 ran (𝐾 ∘ 𝐹) = (𝐾 β€œ ran 𝐹)
9796fveq2i 6893 . . . . . . . 8 ((Cntzβ€˜π»)β€˜ran (𝐾 ∘ 𝐹)) = ((Cntzβ€˜π»)β€˜(𝐾 β€œ ran 𝐹))
9895, 96, 973sstr4g 4026 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ran (𝐾 ∘ 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜ran (𝐾 ∘ 𝐹)))
99 eldifi 4125 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
100 fvco3 6989 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
10154, 99, 100syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΎβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
10219a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ 0 ∈ V)
10354, 81, 78, 102suppssr 8183 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
104103fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΎβ€˜ 0 ))
10510ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (πΎβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π»))
106101, 104, 1053eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π»))
10793, 106suppss 8181 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹) supp (0gβ€˜π»)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))
108107, 85sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐹) supp (0gβ€˜π»)) βŠ† ran 𝑓)
109 eqid 2730 . . . . . . 7 (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) supp (0gβ€˜π»)) = (((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) supp (0gβ€˜π»))
11027, 3, 67, 90, 91, 78, 93, 98, 63, 57, 108, 109gsumval3 19816 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (seq1((+gβ€˜π»), ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
11176, 89, 1103eqtr4rd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
112111expr 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
113112exlimdv 1934 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
114113expimpd 452 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
115 gsumzmhm.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
116115fsuppimpd 9371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
11723, 116eqeltrrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin)
118 fz1f1o 15660 . . 3 ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… ∨ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
119117, 118syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })) = βˆ… ∨ ((β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 }))))–1-1-ontoβ†’(◑𝐹 β€œ (V βˆ– { 0 })))))
12045, 114, 119mpjaod 856 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  1c1 11113  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  seqcseq 13970  β™―chash 14294  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  gsummhm  19847  gsumzinv  19854
  Copyright terms: Public domain W3C validator