MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneip 21645
Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip
StepHypRef Expression
1 snssi 4739 . 2 (𝑃𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2 opnneiss 21644 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
31, 2syl3an3 1159 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081  wcel 2107  wss 3939  {csn 4563  cfv 6351  Topctop 21419  neicnei 21623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-top 21420  df-nei 21624
This theorem is referenced by:  opnnei  21646  neindisj2  21649  iscnp4  21789  cnpnei  21790  hausnei2  21879  llynlly  22003  nllyrest  22012  nllyidm  22015  hausllycmp  22020  cldllycmp  22021  txnlly  22163  flimfil  22495  flimopn  22501  fbflim2  22503  hausflimlem  22505  flimcf  22508  flimsncls  22512  fclsnei  22545  fcfnei  22561  cnextcn  22593  utopreg  22778  blnei  23029  cnllycmp  23477  flimcfil  23834  limcflf  24396  rrhre  31150  cvmlift2lem12  32447
  Copyright terms: Public domain W3C validator