Theorem opnneip 23167

Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4741	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2		opnneiss 23166	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
3	1, 2	syl3an3 1177	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  {csn 4579  ‘cfv 6516  Topctop 22941  neicnei 23145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-top 22942  df-nei 23146

This theorem is referenced by:  opnnei  23168  neindisj2  23171  iscnp4  23311  cnpnei  23312  hausnei2  23401  llynlly  23525  nllyrest  23534  nllyidm  23537  hausllycmp  23542  cldllycmp  23543  txnlly  23685  flimfil  24017  flimopn  24023  fbflim2  24025  hausflimlem  24027  flimcf  24030  flimsncls  24034  fclsnei  24067  fcfnei  24083  cnextcn  24115  utopreg  24300  blnei  24550  cnllycmp  25006  flimcfil  25364  limcflf  25931  rrhre  34279  cvmlift2lem12  35625