Theorem opnneip 22270

Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4741	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2		opnneiss 22269	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
3	1, 2	syl3an3 1164	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  Topctop 22042  neicnei 22248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-top 22043  df-nei 22249

This theorem is referenced by:  opnnei  22271  neindisj2  22274  iscnp4  22414  cnpnei  22415  hausnei2  22504  llynlly  22628  nllyrest  22637  nllyidm  22640  hausllycmp  22645  cldllycmp  22646  txnlly  22788  flimfil  23120  flimopn  23126  fbflim2  23128  hausflimlem  23130  flimcf  23133  flimsncls  23137  fclsnei  23170  fcfnei  23186  cnextcn  23218  utopreg  23404  blnei  23658  cnllycmp  24119  flimcfil  24478  limcflf  25045  rrhre  31971  cvmlift2lem12  33276