MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneip 21252
Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip
StepHypRef Expression
1 snssi 4527 . 2 (𝑃𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2 opnneiss 21251 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
31, 2syl3an3 1206 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108  wcel 2157  wss 3769  {csn 4368  cfv 6101  Topctop 21026  neicnei 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-top 21027  df-nei 21231
This theorem is referenced by:  opnnei  21253  neindisj2  21256  iscnp4  21396  cnpnei  21397  hausnei2  21486  llynlly  21609  nllyrest  21618  nllyidm  21621  hausllycmp  21626  cldllycmp  21627  txnlly  21769  flimfil  22101  flimopn  22107  fbflim2  22109  hausflimlem  22111  flimcf  22114  flimsncls  22118  fclsnei  22151  fcfnei  22167  cnextcn  22199  utopreg  22384  blnei  22635  cnllycmp  23083  flimcfil  23440  limcflf  23986  rrhre  30581  cvmlift2lem12  31813
  Copyright terms: Public domain W3C validator