Theorem opnneip 22178

Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4738	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2		opnneiss 22177	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
3	1, 2	syl3an3 1163	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  Topctop 21950  neicnei 22156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-top 21951  df-nei 22157

This theorem is referenced by:  opnnei  22179  neindisj2  22182  iscnp4  22322  cnpnei  22323  hausnei2  22412  llynlly  22536  nllyrest  22545  nllyidm  22548  hausllycmp  22553  cldllycmp  22554  txnlly  22696  flimfil  23028  flimopn  23034  fbflim2  23036  hausflimlem  23038  flimcf  23041  flimsncls  23045  fclsnei  23078  fcfnei  23094  cnextcn  23126  utopreg  23312  blnei  23564  cnllycmp  24025  flimcfil  24383  limcflf  24950  rrhre  31871  cvmlift2lem12  33176