HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhv0cl-zf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem axhv0cl-zf 30233
Description: Derive Axiom ax-hv0cl 30251 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
axhil.2 π‘ˆ ∈ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhv0cl-zf 0β„Ž ∈ β„‹
Proof of Theorem axhv0cl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2 π‘ˆ ∈ CHilOLD
2 df-hba 30217 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3 axhil.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
43fveq2i 6894 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
52, 4eqtr4i 2763 . . 3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 df-h0v 30218 . . . 4 0β„Ž = (0vecβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
73fveq2i 6894 . . . 4 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
86, 7eqtr4i 2763 . . 3 0β„Ž = (0vecβ€˜π‘ˆ)
95, 8hl0cl 30150 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 0β„Ž ∈ β„‹)
101, 9ax-mp 5 1 0β„Ž ∈ β„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  BaseSetcba 29834  0veccn0v 29836  CHilOLDchlo 30133   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  normβ„Žcno 30171  0β„Žc0v 30172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-nmcv 29848  df-cbn 30111  df-hlo 30134  df-hba 30217  df-h0v 30218
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator