Theorem axhvaddid-zf 29457

Description: Derive Axiom ax-hvaddid 29475 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvaddid-zf	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)

Proof of Theorem axhvaddid-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 29440	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6814	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 29363	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hva 29445	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		df-h0v 29441	. . . 4 ⊢ 0ℎ = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	3	fveq2i 6814	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	8, 9	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
11	5, 7, 10	hladdid 29374	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
12	1, 11	mpan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4577  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  BaseSetcba 29057  0_veccn0v 29059  CHil_OLDchlo 29356   ℋchba 29390   +_ℎ cva 29391   ·_ℎ csm 29392  norm_ℎcno 29394  0_ℎc0v 29395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pr 5367  ax-un 7628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-grpo 28964  df-gid 28965  df-ablo 29016  df-vc 29030  df-nv 29063  df-va 29066  df-ba 29067  df-sm 29068  df-0v 29069  df-nmcv 29071  df-cbn 29334  df-hlo 29357  df-hba 29440  df-h0v 29441

This theorem is referenced by: (None)