Theorem axhvaddid-zf 31077

Description: Derive Axiom ax-hvaddid 31095 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvaddid-zf	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)

Proof of Theorem axhvaddid-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 31060	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6833	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 30983	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hva 31065	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		df-h0v 31061	. . . 4 ⊢ 0ℎ = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	3	fveq2i 6833	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	8, 9	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
11	5, 7, 10	hladdid 30994	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
12	1, 11	mpan 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ⟨cop 4563  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  BaseSetcba 30677  0_veccn0v 30679  CHil_OLDchlo 30976   ℋchba 31010   +_ℎ cva 31011   ·_ℎ csm 31012  norm_ℎcno 31014  0_ℎc0v 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ablo 30636  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-nmcv 30691  df-cbn 30954  df-hlo 30977  df-hba 31060  df-h0v 31061

This theorem is referenced by: (None)