Theorem axhvaddid-zf 31367

Description: Derive Axiom ax-hvaddid 31385 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvaddid-zf	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)

Proof of Theorem axhvaddid-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 31350	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 31273	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hva 31355	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		df-h0v 31351	. . . 4 ⊢ 0ℎ = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	3	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	8, 9	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
11	5, 7, 10	hladdid 31284	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
12	1, 11	mpan 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  BaseSetcba 30967  0_veccn0v 30969  CHil_OLDchlo 31266   ℋchba 31300   +_ℎ cva 31301   ·_ℎ csm 31302  norm_ℎcno 31304  0_ℎc0v 31305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-grpo 30874  df-gid 30875  df-ablo 30926  df-vc 30940  df-nv 30973  df-va 30976  df-ba 30977  df-sm 30978  df-0v 30979  df-nmcv 30981  df-cbn 31244  df-hlo 31267  df-hba 31350  df-h0v 31351

This theorem is used by: (None)