Theorem nv0rid 30998

Description: The zero vector is a right identity element. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nv0id.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv0id.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nv0id.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nv0rid	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Proof of Theorem nv0rid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nv0id.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nv0id.6	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 30969	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
4	3	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴𝐺𝑍) = (𝐴𝐺(GId‘𝐺)))
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = (𝐴𝐺(GId‘𝐺)))
6	1	nvgrp 30980	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
7		nv0id.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 1	bafval 30967	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
10	8, 9	grporid 30880	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(GId‘𝐺)) = 𝐴)
11	6, 10	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(GId‘𝐺)) = 𝐴)
12	5, 11	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  GrpOpcgr 30852  GIdcgi 30853  NrmCVeccnv 30947   +_𝑣 cpv 30948  BaseSetcba 30949  0_veccn0v 30951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-nmcv 30963

This theorem is used by:  nvabs  31035  nvnd  31051  imsmetlem  31053  lnomul  31123  0lno  31153  ipdirilem  31192  hladdid  31266