Theorem nv0rid 31170

Description: The zero vector is a right identity element. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nv0id.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv0id.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nv0id.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nv0rid	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Proof of Theorem nv0rid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nv0id.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nv0id.6	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 31141	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
4	3	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴𝐺𝑍) = (𝐴𝐺(GId‘𝐺)))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = (𝐴𝐺(GId‘𝐺)))
6	1	nvgrp 31152	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
7		nv0id.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 1	bafval 31139	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
10	8, 9	grporid 31052	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(GId‘𝐺)) = 𝐴)
11	6, 10	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(GId‘𝐺)) = 𝐴)
12	5, 11	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  GrpOpcgr 31024  GIdcgi 31025  NrmCVeccnv 31119   +_𝑣 cpv 31120  BaseSetcba 31121  0_veccn0v 31123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-nmcv 31135

This theorem is used by:  nvabs  31207  nvnd  31223  imsmetlem  31225  lnomul  31295  0lno  31325  ipdirilem  31364  hladdid  31438