Theorem nv0rid 30728

Description: The zero vector is a right identity element. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nv0id.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv0id.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nv0id.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nv0rid	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Proof of Theorem nv0rid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nv0id.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nv0id.6	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 30699	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
4	3	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴𝐺𝑍) = (𝐴𝐺(GId‘𝐺)))
5	4	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = (𝐴𝐺(GId‘𝐺)))
6	1	nvgrp 30710	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
7		nv0id.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 1	bafval 30697	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
9		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
10	8, 9	grporid 30610	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(GId‘𝐺)) = 𝐴)
11	6, 10	sylan 587	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(GId‘𝐺)) = 𝐴)
12	5, 11	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  GrpOpcgr 30582  GIdcgi 30583  NrmCVeccnv 30677   +_𝑣 cpv 30678  BaseSetcba 30679  0_veccn0v 30681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-nmcv 30693

This theorem is referenced by:  nvabs  30765  nvnd  30781  imsmetlem  30783  lnomul  30853  0lno  30883  ipdirilem  30922  hladdid  30996