HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmopco 31307
Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopco ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Proof of Theorem hmopco
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31158 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 hmopf 31158 . . . 4 (๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 fco 6742 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
543adant3 1133 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
6 fvco3 6991 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
72, 6sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
87oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
98ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))))
10 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
11 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
122ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
1312ad2ant2l 745 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
14 hmop 31206 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
1510, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)))
16 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp)
171ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1817ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
19 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
20 hmop 31206 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘ˆโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
229, 15, 213eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
23 fvco3 6991 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
241, 23sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
2524oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
2625ad2ant2r 746 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ˆโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
2722, 26eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
28273adantl3 1169 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
29 fveq1 6891 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
3029oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡) โ†’ (((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
31303ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
3231adantr 482 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (((๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
3328, 32eqtr4d 2776 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
3433ralrimivva 3201 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
35 elhmop 31157 . 2 ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp โ†” ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) = (((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
365, 34, 35sylanbrc 584 1 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ) โˆˆ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ„‹chba 30203   ยทih csp 30206  HrmOpcho 30234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-hilex 30283
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-hmop 31128
This theorem is referenced by:  leopsq  31413  opsqrlem4  31427  opsqrlem6  31429
  Copyright terms: Public domain W3C validator