HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmbdoplbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmbdoplbi 31015
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmbdoplb.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmbdoplbi (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmbdoplbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
21fveq2d 6850 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
3 fveq2 6846 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
43oveq2d 7377 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)))
52, 4breq12d 5122 . 2 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))))
6 nmbdoplb.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
7 bdopln 30852 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
98lnopfi 30960 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
109ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
11 normcl 30116 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11191 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 normcl 30116 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1716recnd 11191 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 normne0 30121 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0โ„Ž))
1918biimpar 479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0)
2014, 17, 19divrec2d 11943 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
2116, 19rereccld 11990 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2221recnd 11191 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
248lnopmuli 30963 . . . . . . . 8 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
2522, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
2625fveq2d 6850 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
2710adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
28 norm-iii 30131 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
2922, 27, 28syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
30 normgt0 30118 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3130biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))
3216, 31recgt0d 12097 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
33 0re 11165 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
34 ltle 11251 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3533, 34mpan 689 . . . . . . . . 9 ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3621, 32, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3721, 36absidd 15316 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) = (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3837oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
3926, 29, 383eqtrrd 2778 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
4020, 39eqtrd 2773 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
41 hvmulcl 30004 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
4222, 23, 41syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
43 normcl 30116 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
45 norm1 30240 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1)
46 eqle 11265 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
48 nmoplb 30898 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
499, 48mp3an1 1449 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5042, 47, 49syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5140, 50eqbrtrd 5131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
52 nmopre 30861 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
536, 52ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
5453a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
55 ledivmul2 12042 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
5613, 54, 16, 31, 55syl112anc 1375 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
5751, 56mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
58 0le0 12262 . . . 4 0 โ‰ค 0
598lnop0i 30961 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
6059fveq2i 6849 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)
61 norm0 30119 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
6260, 61eqtri 2761 . . . 4 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
6361oveq2i 7372 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0)
6453recni 11177 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
6564mul01i 11353 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0) = 0
6663, 65eqtri 2761 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)) = 0
6758, 62, 663brtr4i 5139 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
6867a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)))
695, 57, 68pm2.61ne 3027 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  abscabs 15128   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912  normโ„Žcno 29914  0โ„Žc0v 29915  normopcnop 29936  LinOpclo 29938  BndLinOpcbo 29939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-nmop 30830  df-lnop 30832  df-bdop 30833
This theorem is referenced by:  nmbdoplb  31016  nmopcoadji  31092
  Copyright terms: Public domain W3C validator