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Theorem nmbdoplbi 29576
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmbdoplb.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmbdoplbi (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))

Proof of Theorem nmbdoplbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6497 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑇𝐴) = (𝑇‘0))
21fveq2d 6501 . . 3 (𝐴 = 0 → (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇‘0)))
3 fveq2 6497 . . . 4 (𝐴 = 0 → (norm𝐴) = (norm‘0))
43oveq2d 6990 . . 3 (𝐴 = 0 → ((normop𝑇) · (norm𝐴)) = ((normop𝑇) · (norm‘0)))
52, 4breq12d 4940 . 2 (𝐴 = 0 → ((norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) ≤ ((normop𝑇) · (norm‘0))))
6 nmbdoplb.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
7 bdopln 29413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinOp
98lnopfi 29521 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ ℋ
109ffvelrni 6673 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
11 normcl 28675 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
1312adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
1413recnd 10464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℂ)
15 normcl 28675 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
1615adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
1716recnd 10464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℂ)
18 normne0 28680 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1918biimpar 470 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ≠ 0)
2014, 17, 19divrec2d 11217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm‘(𝑇𝐴))))
2116, 19rereccld 11264 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ)
2221recnd 10464 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ)
23 simpl 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℋ)
248lnopmuli 29524 . . . . . . . 8 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴)))
2522, 23, 24syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴)))
2625fveq2d 6501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) = (norm‘((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴))))
2710adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
28 norm-iii 28690 . . . . . . 7 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴))) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))))
2922, 27, 28syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴))) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))))
30 normgt0 28677 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
3130biimpa 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (norm𝐴))
3216, 31recgt0d 11371 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (1 / (norm𝐴)))
33 0re 10437 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
34 ltle 10525 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴))))
3533, 34mpan 677 . . . . . . . . 9 ((1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴))))
3621, 32, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
3721, 36absidd 14637 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(1 / (norm𝐴))) = (1 / (norm𝐴)))
3837oveq1d 6989 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm‘(𝑇𝐴))))
3926, 29, 383eqtrrd 2816 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (norm𝐴)) · (norm‘(𝑇𝐴))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))))
4020, 39eqtrd 2811 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))))
41 hvmulcl 28563 . . . . . 6 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ)
4222, 23, 41syl2anc 576 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ)
43 normcl 28675 . . . . . . 7 (((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
45 norm1 28799 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)
46 eqle 10538 . . . . . 6 (((norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1)
4744, 45, 46syl2anc 576 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1)
48 nmoplb 29459 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) ≤ (normop𝑇))
499, 48mp3an1 1427 . . . . 5 ((((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) ≤ (normop𝑇))
5042, 47, 49syl2anc 576 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) ≤ (normop𝑇))
5140, 50eqbrtrd 4949 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) ≤ (normop𝑇))
52 nmopre 29422 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
536, 52ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
55 ledivmul2 11316 . . . 4 (((norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴))) → (((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) ≤ (normop𝑇) ↔ (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴))))
5613, 54, 16, 31, 55syl112anc 1354 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) ≤ (normop𝑇) ↔ (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴))))
5751, 56mpbid 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
58 0le0 11545 . . . 4 0 ≤ 0
598lnop0i 29522 . . . . . 6 (𝑇‘0) = 0
6059fveq2i 6500 . . . . 5 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘0)
61 norm0 28678 . . . . 5 (norm‘0) = 0
6260, 61eqtri 2799 . . . 4 (norm‘(𝑇‘0)) = 0
6361oveq2i 6985 . . . . 5 ((normop𝑇) · (norm‘0)) = ((normop𝑇) · 0)
6453recni 10450 . . . . . 6 (normop𝑇) ∈ ℂ
6564mul01i 10626 . . . . 5 ((normop𝑇) · 0) = 0
6663, 65eqtri 2799 . . . 4 ((normop𝑇) · (norm‘0)) = 0
6758, 62, 663brtr4i 4957 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) ≤ ((normop𝑇) · (norm‘0))
6867a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇‘0)) ≤ ((normop𝑇) · (norm‘0)))
695, 57, 68pm2.61ne 3050 1 (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964   class class class wbr 4927  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6974  cc 10329  cr 10330  0cc0 10331  1c1 10332   · cmul 10336   < clt 10470  cle 10471   / cdiv 11094  abscabs 14448  chba 28469   · csm 28471  normcno 28473  0c0v 28474  normopcnop 28495  LinOpclo 28497  BndLinOpcbo 28498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-hilex 28549  ax-hfvadd 28550  ax-hvcom 28551  ax-hvass 28552  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556  ax-hvmulass 28557  ax-hvdistr1 28558  ax-hvdistr2 28559  ax-hvmul0 28560  ax-hfi 28629  ax-his1 28632  ax-his2 28633  ax-his3 28634  ax-his4 28635
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-er 8085  df-map 8204  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-sup 8697  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-rp 12202  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-nmcv 28148  df-hnorm 28518  df-hba 28519  df-hvsub 28521  df-nmop 29391  df-lnop 29393  df-bdop 29394
This theorem is referenced by:  nmbdoplb  29577  nmopcoadji  29653
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