HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmbdoplbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmbdoplbi 31862
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmbdoplb.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmbdoplbi (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmbdoplbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
21fveq2d 6906 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
3 fveq2 6902 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
43oveq2d 7442 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)))
52, 4breq12d 5165 . 2 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))))
6 nmbdoplb.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
7 bdopln 31699 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
98lnopfi 31807 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
109ffvelcdmi 7098 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
11 normcl 30963 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11282 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 normcl 30963 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1716recnd 11282 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 normne0 30968 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0โ„Ž))
1918biimpar 476 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0)
2014, 17, 19divrec2d 12034 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
2116, 19rereccld 12081 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2221recnd 11282 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
248lnopmuli 31810 . . . . . . . 8 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
2522, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
2625fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
2710adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
28 norm-iii 30978 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
2922, 27, 28syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
30 normgt0 30965 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3130biimpa 475 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))
3216, 31recgt0d 12188 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
33 0re 11256 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
34 ltle 11342 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3533, 34mpan 688 . . . . . . . . 9 ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3621, 32, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3721, 36absidd 15411 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) = (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3837oveq1d 7441 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
3926, 29, 383eqtrrd 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
4020, 39eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
41 hvmulcl 30851 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
4222, 23, 41syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
43 normcl 30963 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
45 norm1 31087 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1)
46 eqle 11356 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
4744, 45, 46syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
48 nmoplb 31745 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
499, 48mp3an1 1444 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5042, 47, 49syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5140, 50eqbrtrd 5174 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
52 nmopre 31708 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
536, 52ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
5453a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
55 ledivmul2 12133 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
5613, 54, 16, 31, 55syl112anc 1371 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
5751, 56mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
58 0le0 12353 . . . 4 0 โ‰ค 0
598lnop0i 31808 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
6059fveq2i 6905 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)
61 norm0 30966 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
6260, 61eqtri 2756 . . . 4 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
6361oveq2i 7437 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0)
6453recni 11268 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
6564mul01i 11444 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0) = 0
6663, 65eqtri 2756 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)) = 0
6758, 62, 663brtr4i 5182 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
6867a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)))
695, 57, 68pm2.61ne 3024 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911  abscabs 15223   โ„‹chba 30757   ยทโ„Ž csm 30759  normโ„Žcno 30761  0โ„Žc0v 30762  normopcnop 30783  LinOpclo 30785  BndLinOpcbo 30786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-nmcv 30438  df-hnorm 30806  df-hba 30807  df-hvsub 30809  df-nmop 31677  df-lnop 31679  df-bdop 31680
This theorem is referenced by:  nmbdoplb  31863  nmopcoadji  31939
  Copyright terms: Public domain W3C validator