HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmbdoplbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmbdoplbi 31786
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmbdoplb.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmbdoplbi (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmbdoplbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6885 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
21fveq2d 6889 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
3 fveq2 6885 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
43oveq2d 7421 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)))
52, 4breq12d 5154 . 2 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))))
6 nmbdoplb.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
7 bdopln 31623 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
98lnopfi 31731 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
109ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
11 normcl 30887 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11246 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 normcl 30887 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1716recnd 11246 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 normne0 30892 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0โ„Ž))
1918biimpar 477 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0)
2014, 17, 19divrec2d 11998 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
2116, 19rereccld 12045 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2221recnd 11246 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
248lnopmuli 31734 . . . . . . . 8 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
2522, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
2625fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
2710adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
28 norm-iii 30902 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
2922, 27, 28syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
30 normgt0 30889 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3130biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))
3216, 31recgt0d 12152 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
33 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
34 ltle 11306 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3533, 34mpan 687 . . . . . . . . 9 ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3621, 32, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3721, 36absidd 15375 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) = (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3837oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
3926, 29, 383eqtrrd 2771 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
4020, 39eqtrd 2766 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
41 hvmulcl 30775 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
4222, 23, 41syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
43 normcl 30887 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
45 norm1 31011 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1)
46 eqle 11320 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
48 nmoplb 31669 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
499, 48mp3an1 1444 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5042, 47, 49syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
5140, 50eqbrtrd 5163 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
52 nmopre 31632 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
536, 52ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
5453a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
55 ledivmul2 12097 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
5613, 54, 16, 31, 55syl112anc 1371 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
5751, 56mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
58 0le0 12317 . . . 4 0 โ‰ค 0
598lnop0i 31732 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
6059fveq2i 6888 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)
61 norm0 30890 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
6260, 61eqtri 2754 . . . 4 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
6361oveq2i 7416 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0)
6453recni 11232 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
6564mul01i 11408 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0) = 0
6663, 65eqtri 2754 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)) = 0
6758, 62, 663brtr4i 5171 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
6867a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)))
695, 57, 68pm2.61ne 3021 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  abscabs 15187   โ„‹chba 30681   ยทโ„Ž csm 30683  normโ„Žcno 30685  0โ„Žc0v 30686  normopcnop 30707  LinOpclo 30709  BndLinOpcbo 30710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-nmcv 30362  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-nmop 31601  df-lnop 31603  df-bdop 31604
This theorem is referenced by:  nmbdoplb  31787  nmopcoadji  31863
  Copyright terms: Public domain W3C validator