Theorem leopsq 30780

Description: The square of a Hermitian operator is positive. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopsq	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 0hop ≤op (𝑇 ∘ 𝑇))

Proof of Theorem leopsq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 30525	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2	1	ffvelcdmda 7018	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
3		hiidge0 29749	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)))
5		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
7		hmop 30573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
8	5, 2, 6, 7	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = ((𝑇‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
9		fvco3 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇‘𝑥)))
10	1, 9	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇‘𝑥)))
11	10	oveq1d 7353	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑥))
12	8, 11	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑥)) = (((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
13	4, 12	breqtrd 5119	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
14	13	ralrimiva 3139	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ 𝑇)
16		hmopco 30674	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ 𝑇)) → (𝑇 ∘ 𝑇) ∈ HrmOp)
17	15, 16	mp3an3 1449	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑇 ∘ 𝑇) ∈ HrmOp)
18	17	anidms 567	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (𝑇 ∘ 𝑇) ∈ HrmOp)
19		leoppos 30777	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∘ 𝑇) ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝑇 ∘ 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hop ≤op (𝑇 ∘ 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
21	14, 20	mpbird 256	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 0hop ≤op (𝑇 ∘ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   class class class wbr 5093   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  0cc0 10973   ≤ cle 11112   ℋchba 29570   ·_ih csp 29573   0_hop ch0o 29594  HrmOpcho 29601   ≤_op cleo 29609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cc 10293  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051  ax-addf 11052  ax-mulf 11053  ax-hilex 29650  ax-hfvadd 29651  ax-hvcom 29652  ax-hvass 29653  ax-hv0cl 29654  ax-hvaddid 29655  ax-hfvmul 29656  ax-hvmulid 29657  ax-hvmulass 29658  ax-hvdistr1 29659  ax-hvdistr2 29660  ax-hvmul0 29661  ax-hfi 29730  ax-his1 29733  ax-his2 29734  ax-his3 29735  ax-his4 29736  ax-hcompl 29853

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-2o 8369  df-oadd 8372  df-omul 8373  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-ixp 8758  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-fi 9269  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-card 9797  df-acn 9800  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-ioo 13185  df-ico 13187  df-icc 13188  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-seq 13824  df-exp 13885  df-hash 14147  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-fbas 20701  df-fg 20702  df-cnfld 20705  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-cld 22277  df-ntr 22278  df-cls 22279  df-nei 22356  df-cn 22485  df-cnp 22486  df-lm 22487  df-haus 22573  df-tx 22820  df-hmeo 23013  df-fil 23104  df-fm 23196  df-flim 23197  df-flf 23198  df-xms 23580  df-ms 23581  df-tms 23582  df-cfil 24526  df-cau 24527  df-cmet 24528  df-grpo 29144  df-gid 29145  df-ginv 29146  df-gdiv 29147  df-ablo 29196  df-vc 29210  df-nv 29243  df-va 29246  df-ba 29247  df-sm 29248  df-0v 29249  df-vs 29250  df-nmcv 29251  df-ims 29252  df-dip 29352  df-ssp 29373  df-ph 29464  df-cbn 29514  df-hnorm 29619  df-hba 29620  df-hvsub 29622  df-hlim 29623  df-hcau 29624  df-sh 29858  df-ch 29872  df-oc 29903  df-ch0 29904  df-shs 29959  df-pjh 30046  df-hosum 30381  df-homul 30382  df-hodif 30383  df-h0op 30399  df-hmop 30495  df-leop 30503

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  30796  0leopj  30837