HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopsq 29915
Description: The square of a Hermitian operator is positive. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopsq (𝑇 ∈ HrmOp → 0hopop (𝑇𝑇))

Proof of Theorem leopsq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 29660 . . . . . 6 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
21ffvelrnda 6842 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
3 hiidge0 28884 . . . . 5 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)))
5 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
6 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
7 hmop 29708 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
85, 2, 6, 7syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
9 fvco3 6751 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
101, 9sylan 583 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
1110oveq1d 7164 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
128, 11eqtr4d 2862 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (((𝑇𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
134, 12breqtrd 5078 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((𝑇𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
1413ralrimiva 3177 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
15 eqid 2824 . . . . 5 (𝑇𝑇) = (𝑇𝑇)
16 hmopco 29809 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = (𝑇𝑇)) → (𝑇𝑇) ∈ HrmOp)
1715, 16mp3an3 1447 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑇𝑇) ∈ HrmOp)
1817anidms 570 . . 3 (𝑇 ∈ HrmOp → (𝑇𝑇) ∈ HrmOp)
19 leoppos 29912 . . 3 ((𝑇𝑇) ∈ HrmOp → ( 0hopop (𝑇𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2018, 19syl 17 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hopop (𝑇𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑇𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2114, 20mpbird 260 1 (𝑇 ∈ HrmOp → 0hopop (𝑇𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133   class class class wbr 5052  ccom 5546  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  cle 10674  chba 28705   ·ih csp 28708   0hop ch0o 28729  HrmOpcho 28736  op cleo 28744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-shs 29094  df-pjh 29181  df-hosum 29516  df-homul 29517  df-hodif 29518  df-h0op 29534  df-hmop 29630  df-leop 29638
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29931  0leopj  29972
  Copyright terms: Public domain W3C validator