HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem6 32174
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑥𝑥)))))
opsqrlem2.3 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
opsqrlem6.4 𝑇op Iop
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ≤op Iop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . 3 (𝑗 = 1 → (𝐹𝑗) = (𝐹‘1))
21breq1d 5158 . 2 (𝑗 = 1 → ((𝐹𝑗) ≤op Iop ↔ (𝐹‘1) ≤op Iop ))
3 fveq2 6907 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
43breq1d 5158 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ≤op Iop ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop ))
5 fveq2 6907 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑁))
65breq1d 5158 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹𝑗) ≤op Iop ↔ (𝐹𝑁) ≤op Iop ))
7 opsqrlem2.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
8 opsqrlem2.2 . . . 4 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑥𝑥)))))
9 opsqrlem2.3 . . . 4 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
107, 8, 9opsqrlem2 32170 . . 3 (𝐹‘1) = 0hop
11 idleop 32160 . . 3 0hopop Iop
1210, 11eqbrtri 5169 . 2 (𝐹‘1) ≤op Iop
13 idhmop 32011 . . . . . . . 8 Iop ∈ HrmOp
147, 8, 9opsqrlem4 32172 . . . . . . . . 9 𝐹:ℕ⟶HrmOp
1514ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ HrmOp)
16 hmopd 32051 . . . . . . . 8 (( Iop ∈ HrmOp ∧ (𝐹𝑘) ∈ HrmOp) → ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp)
1713, 15, 16sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp)
18 eqid 2735 . . . . . . . 8 (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))
19 hmopco 32052 . . . . . . . 8 ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp ∧ (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp)
2018, 19mp3an3 1449 . . . . . . 7 ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp)
2117, 17, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp)
22 leopsq 32158 . . . . . . 7 (( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp → 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))))
2317, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))))
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8 𝑇op Iop
25 leop3 32154 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ Iop ∈ HrmOp) → (𝑇op Iop ↔ 0hopop ( Iopop 𝑇)))
267, 13, 25mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝑇op Iop ↔ 0hopop ( Iopop 𝑇))
2724, 26mpbi 230 . . . . . . 7 0hopop ( Iopop 𝑇)
28 hmopd 32051 . . . . . . . . 9 (( Iop ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( Iopop 𝑇) ∈ HrmOp)
2913, 7, 28mp2an 692 . . . . . . . 8 ( Iopop 𝑇) ∈ HrmOp
30 leopadd 32161 . . . . . . . 8 ((((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∧ 0hopop ( Iopop 𝑇))) → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
3129, 30mpanl2 701 . . . . . . 7 (((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp ∧ ( 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∧ 0hopop ( Iopop 𝑇))) → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
3227, 31mpanr2 704 . . . . . 6 (((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp ∧ 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
3321, 23, 32syl2anc 584 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
34 2cn 12339 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
35 hmopf 31903 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘) ∈ HrmOp → (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ)
3615, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ)
37 homulcl 31788 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
3834, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
39 hmopf 31903 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
407, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ ℋ
41 fco 6761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
4236, 36, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
43 hosubcl 31802 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
4440, 42, 43sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
45 hmopf 31903 . . . . . . . . . . . 12 ( Iop ∈ HrmOp → Iop : ℋ⟶ ℋ)
4613, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ⟶ ℋ
47 homulcl 31788 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ)
4834, 46, 47mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ
49 hosubsub4 31847 . . . . . . . . . 10 (((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
5048, 49mp3an1 1447 . . . . . . . . 9 (((2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
5138, 44, 50syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
52 hosubcl 31802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
5342, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
54 hoadd32 31812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
5546, 46, 54mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
57 ho2times 31848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (2 ·op Iop ) = ( Iop +op Iop ))
5846, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ·op Iop ) = ( Iop +op Iop )
5958oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))))
6056, 59eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
61 hoaddsubass 31844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
6248, 61mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
6342, 38, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
6460, 63eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))))
6564oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇))
66 hoaddcl 31787 . . . . . . . . . . . 12 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
6746, 53, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
68 hoaddsubass 31844 . . . . . . . . . . . 12 ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
6946, 40, 68mp3an23 1452 . . . . . . . . . . 11 (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
71 hoaddcl 31787 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → ((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
7248, 42, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
73 hosubsub4 31847 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7440, 73mp3an3 1449 . . . . . . . . . . 11 ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7572, 38, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7665, 70, 753eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
77 hosubadd4 31843 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7840, 77mpanr1 703 . . . . . . . . . . 11 ((((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7948, 78mpanl1 700 . . . . . . . . . 10 (((2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
8038, 42, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
8176, 80eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
82 halfcn 12479 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℂ
83 homulcl 31788 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
8482, 44, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
85 hoadddi 31832 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
8634, 85mp3an1 1447 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
8736, 84, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
88 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
8934, 88recidi 11996 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (1 / 2)) = 1
9089oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (1 ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
91 homulass 31831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
9234, 82, 91mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ → ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
9344, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
94 homullid 31829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
9544, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
9690, 93, 953eqtr3a 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))) = (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
9796oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
9887, 97eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
9998oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
10051, 81, 993eqtr4d 2785 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
101 hoaddcl 31787 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ)
10236, 84, 101syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ)
103 hosubdi 31837 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
10434, 46, 103mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ → (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
105102, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
106100, 105eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
107 hosubcl 31802 . . . . . . . . . 10 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
10846, 36, 107sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
109 hocsubdir 31814 . . . . . . . . . 10 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))))
11046, 109mp3an1 1447 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))))
11136, 108, 110syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))))
112 hmoplin 31971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Iop ∈ HrmOp → Iop ∈ LinOp)
11313, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Iop ∈ LinOp
114 hoddi 32019 . . . . . . . . . . . . . 14 (( Iop ∈ LinOp ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))))
115113, 46, 114mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))))
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))))
11746hoid1i 31818 . . . . . . . . . . . . . 14 ( Iop ∘ Iop ) = Iop
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
119 hoico2 31786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → ( Iop ∘ (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
12036, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
121118, 120oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))) = ( Iopop (𝐹𝑘)))
122116, 121eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = ( Iopop (𝐹𝑘)))
123 hmoplin 31971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑘) ∈ HrmOp → (𝐹𝑘) ∈ LinOp)
12415, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ LinOp)
125 hoddi 32019 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ LinOp ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
12646, 125mp3an2 1448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ LinOp ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
127124, 36, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
128 hoico1 31785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → ((𝐹𝑘) ∘ Iop ) = (𝐹𝑘))
12936, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ Iop ) = (𝐹𝑘))
130129oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
131127, 130eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
132122, 131oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) = (( Iopop (𝐹𝑘)) −op ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
13336, 46jctil 519 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ))
134 hosubadd4 31843 . . . . . . . . . . 11 ((( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) ∧ ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)) → (( Iopop (𝐹𝑘)) −op ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
135133, 36, 42, 134syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) −op ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
136132, 135eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
137 ho2times 31848 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → (2 ·op (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘)))
13836, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘)))
139138oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
140 hoaddsubass 31844 . . . . . . . . . . 11 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
14146, 140mp3an1 1447 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
14242, 38, 141syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
143136, 139, 1423eqtr2d 2781 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
144111, 143eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
145144oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
1467, 8, 9opsqrlem5 32173 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
147146oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
148147oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
149106, 145, 1483eqtr4d 2785 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)) = (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
15033, 149breqtrd 5174 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
151 peano2nn 12276 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15214ffvelcdmi 7103 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp)
154 hmopd 32051 . . . . . 6 (( Iop ∈ HrmOp ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp) → ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp)
15513, 153, 154sylancr 587 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp)
156 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
157 2pos 12367 . . . . . 6 0 < 2
158 leopmul 32163 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp ∧ 0 < 2) → ( 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))))
159156, 157, 158mp3an13 1451 . . . . 5 (( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp → ( 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))))
160155, 159syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ( 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))))
161150, 160mpbird 257 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))
162 leop3 32154 . . . 4 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop ↔ 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
163153, 13, 162sylancl 586 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop ↔ 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
164161, 163mpbird 257 . 2 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop )
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 12286 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ≤op Iop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  seqcseq 14039  chba 30948   +op chos 30967   ·op chot 30968  op chod 30969   0hop ch0o 30972   Iop chio 30973  LinOpclo 30976  HrmOpcho 30979  op cleo 30987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-pjh 31424  df-hosum 31759  df-homul 31760  df-hodif 31761  df-h0op 31777  df-iop 31778  df-lnop 31870  df-hmop 31873  df-leop 31881
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator