HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem6 31087
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑥𝑥)))))
opsqrlem2.3 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
opsqrlem6.4 𝑇op Iop
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ≤op Iop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . 3 (𝑗 = 1 → (𝐹𝑗) = (𝐹‘1))
21breq1d 5115 . 2 (𝑗 = 1 → ((𝐹𝑗) ≤op Iop ↔ (𝐹‘1) ≤op Iop ))
3 fveq2 6842 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
43breq1d 5115 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ≤op Iop ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop ))
5 fveq2 6842 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑁))
65breq1d 5115 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹𝑗) ≤op Iop ↔ (𝐹𝑁) ≤op Iop ))
7 opsqrlem2.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
8 opsqrlem2.2 . . . 4 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑥𝑥)))))
9 opsqrlem2.3 . . . 4 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
107, 8, 9opsqrlem2 31083 . . 3 (𝐹‘1) = 0hop
11 idleop 31073 . . 3 0hopop Iop
1210, 11eqbrtri 5126 . 2 (𝐹‘1) ≤op Iop
13 idhmop 30924 . . . . . . . 8 Iop ∈ HrmOp
147, 8, 9opsqrlem4 31085 . . . . . . . . 9 𝐹:ℕ⟶HrmOp
1514ffvelcdmi 7034 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ HrmOp)
16 hmopd 30964 . . . . . . . 8 (( Iop ∈ HrmOp ∧ (𝐹𝑘) ∈ HrmOp) → ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp)
1713, 15, 16sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp)
18 eqid 2736 . . . . . . . 8 (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))
19 hmopco 30965 . . . . . . . 8 ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp ∧ (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp)
2018, 19mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp)
2117, 17, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp)
22 leopsq 31071 . . . . . . 7 (( Iopop (𝐹𝑘)) ∈ HrmOp → 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))))
2317, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))))
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8 𝑇op Iop
25 leop3 31067 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ Iop ∈ HrmOp) → (𝑇op Iop ↔ 0hopop ( Iopop 𝑇)))
267, 13, 25mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝑇op Iop ↔ 0hopop ( Iopop 𝑇))
2724, 26mpbi 229 . . . . . . 7 0hopop ( Iopop 𝑇)
28 hmopd 30964 . . . . . . . . 9 (( Iop ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( Iopop 𝑇) ∈ HrmOp)
2913, 7, 28mp2an 690 . . . . . . . 8 ( Iopop 𝑇) ∈ HrmOp
30 leopadd 31074 . . . . . . . 8 ((((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∧ 0hopop ( Iopop 𝑇))) → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
3129, 30mpanl2 699 . . . . . . 7 (((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp ∧ ( 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∧ 0hopop ( Iopop 𝑇))) → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
3227, 31mpanr2 702 . . . . . 6 (((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) ∈ HrmOp ∧ 0hopop (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
3321, 23, 32syl2anc 584 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)))
34 2cn 12228 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
35 hmopf 30816 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘) ∈ HrmOp → (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ)
3615, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ)
37 homulcl 30701 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
3834, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
39 hmopf 30816 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
407, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ ℋ
41 fco 6692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
4236, 36, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
43 hosubcl 30715 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
4440, 42, 43sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
45 hmopf 30816 . . . . . . . . . . . 12 ( Iop ∈ HrmOp → Iop : ℋ⟶ ℋ)
4613, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ⟶ ℋ
47 homulcl 30701 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ)
4834, 46, 47mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ
49 hosubsub4 30760 . . . . . . . . . 10 (((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
5048, 49mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
5138, 44, 50syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
52 hosubcl 30715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
5342, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
54 hoadd32 30725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
5546, 46, 54mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
57 ho2times 30761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (2 ·op Iop ) = ( Iop +op Iop ))
5846, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ·op Iop ) = ( Iop +op Iop )
5958oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))))
6056, 59eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
61 hoaddsubass 30757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
6248, 61mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
6342, 38, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ((2 ·op Iop ) +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
6460, 63eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))))
6564oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇))
66 hoaddcl 30700 . . . . . . . . . . . 12 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
6746, 53, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
68 hoaddsubass 30757 . . . . . . . . . . . 12 ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
6946, 40, 68mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op Iop ) −op 𝑇) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
71 hoaddcl 30700 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → ((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
7248, 42, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ)
73 hosubsub4 30760 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7440, 73mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7572, 38, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op 𝑇) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7665, 70, 753eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
77 hosubadd4 30756 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7840, 77mpanr1 701 . . . . . . . . . . 11 ((((2 ·op Iop ): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
7948, 78mpanl1 698 . . . . . . . . . 10 (((2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
8038, 42, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (((2 ·op Iop ) +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op 𝑇)))
8176, 80eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = (((2 ·op Iop ) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) −op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
82 halfcn 12368 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℂ
83 homulcl 30701 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
8482, 44, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ)
85 hoadddi 30745 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
8634, 85mp3an1 1448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
8736, 84, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
88 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
8934, 88recidi 11886 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (1 / 2)) = 1
9089oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (1 ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
91 homulass 30744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ) → ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
9234, 82, 91mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ → ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
9344, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · (1 / 2)) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
94 homulid2 30742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
9544, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
9690, 93, 953eqtr3a 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))) = (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
9796oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (2 ·op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
9887, 97eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))) = ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
9998oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op ((2 ·op (𝐹𝑘)) +op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
10051, 81, 993eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
101 hoaddcl 30700 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ)
10236, 84, 101syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ)
103 hosubdi 30750 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ) → (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
10434, 46, 103mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))): ℋ⟶ ℋ → (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
105102, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))) = ((2 ·op Iop ) −op (2 ·op ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
106100, 105eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)) = (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
107 hosubcl 30715 . . . . . . . . . 10 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
10846, 36, 107sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)
109 hocsubdir 30727 . . . . . . . . . 10 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))))
11046, 109mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ( Iopop (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))))
11136, 108, 110syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))))
112 hmoplin 30884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Iop ∈ HrmOp → Iop ∈ LinOp)
11313, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Iop ∈ LinOp
114 hoddi 30932 . . . . . . . . . . . . . 14 (( Iop ∈ LinOp ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))))
115113, 46, 114mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))))
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))))
11746hoid1i 30731 . . . . . . . . . . . . . 14 ( Iop ∘ Iop ) = Iop
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
119 hoico2 30699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → ( Iop ∘ (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
12036, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
121118, 120oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ (𝐹𝑘))) = ( Iopop (𝐹𝑘)))
122116, 121eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = ( Iopop (𝐹𝑘)))
123 hmoplin 30884 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑘) ∈ HrmOp → (𝐹𝑘) ∈ LinOp)
12415, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ LinOp)
125 hoddi 30932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ LinOp ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
12646, 125mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ LinOp ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
127124, 36, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
128 hoico1 30698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → ((𝐹𝑘) ∘ Iop ) = (𝐹𝑘))
12936, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ Iop ) = (𝐹𝑘))
130129oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹𝑘) ∘ Iop ) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
131127, 130eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))
132122, 131oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) = (( Iopop (𝐹𝑘)) −op ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))
13336, 46jctil 520 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ))
134 hosubadd4 30756 . . . . . . . . . . 11 ((( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ) ∧ ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ)) → (( Iopop (𝐹𝑘)) −op ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
135133, 36, 42, 134syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) −op ((𝐹𝑘) −op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
136132, 135eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
137 ho2times 30761 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘): ℋ⟶ ℋ → (2 ·op (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘)))
13836, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘)))
139138oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) +op (𝐹𝑘))))
140 hoaddsubass 30757 . . . . . . . . . . 11 (( Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
14146, 140mp3an1 1448 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ ∧ (2 ·op (𝐹𝑘)): ℋ⟶ ℋ) → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
14242, 38, 141syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop +op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))) −op (2 ·op (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
143136, 139, 1423eqtr2d 2782 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iop ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) −op ((𝐹𝑘) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘)))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
144111, 143eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) = ( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))))
145144oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)) = (( Iop +op (((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)) −op (2 ·op (𝐹𝑘)))) +op ( Iopop 𝑇)))
1467, 8, 9opsqrlem5 31086 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))
147146oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘)))))))
148147oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (2 ·op ( Iopop ((𝐹𝑘) +op ((1 / 2) ·op (𝑇op ((𝐹𝑘) ∘ (𝐹𝑘))))))))
149106, 145, 1483eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((( Iopop (𝐹𝑘)) ∘ ( Iopop (𝐹𝑘))) +op ( Iopop 𝑇)) = (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
15033, 149breqtrd 5131 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
151 peano2nn 12165 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15214ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp)
154 hmopd 30964 . . . . . 6 (( Iop ∈ HrmOp ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp) → ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp)
15513, 153, 154sylancr 587 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp)
156 2re 12227 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
157 2pos 12256 . . . . . 6 0 < 2
158 leopmul 31076 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp ∧ 0 < 2) → ( 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))))
159156, 157, 158mp3an13 1452 . . . . 5 (( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ HrmOp → ( 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))))
160155, 159syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ( 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 0hopop (2 ·op ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))))
161150, 160mpbird 256 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1))))
162 leop3 31067 . . . 4 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ HrmOp ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop ↔ 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
163153, 13, 162sylancl 586 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop ↔ 0hopop ( Iopop (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
164161, 163mpbird 256 . 2 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤op Iop )
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 12175 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ≤op Iop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  seqcseq 13906  chba 29861   +op chos 29880   ·op chot 29881  op chod 29882   0hop ch0o 29885   Iop chio 29886  LinOpclo 29889  HrmOpcho 29892  op cleo 29900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-pjh 30337  df-hosum 30672  df-homul 30673  df-hodif 30674  df-h0op 30690  df-iop 30691  df-lnop 30783  df-hmop 30786  df-leop 30794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator