Theorem hmopf 31970

Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopf	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hmopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhmop 31969	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ℋchba 31015   ·_ih csp 31018  HrmOpcho 31046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-hilex 31095

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-map 8772  df-hmop 31940

This theorem is referenced by:  hmopex  31971  hmopre  32019  hmopadj  32035  hmdmadj  32036  hmoplin  32038  eighmre  32059  eighmorth  32060  hmops  32116  hmopm  32117  hmopd  32118  hmopco  32119  leop2  32220  leoppos  32222  leoprf  32224  leopsq  32225  leopadd  32228  leopmuli  32229  leopmul  32230  leopmul2i  32231  leopnmid  32234  nmopleid  32235  opsqrlem1  32236  opsqrlem6  32241  elpjrn  32286