Theorem hmopf 32363

Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopf	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hmopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhmop 32362	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ℋchba 31408   ·_ih csp 31411  HrmOpcho 31439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-hilex 31488

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-hmop 32333

This theorem is used by:  hmopex  32364  hmopre  32412  hmopadj  32428  hmdmadj  32429  hmoplin  32431  eighmre  32452  eighmorth  32453  hmops  32509  hmopm  32510  hmopd  32511  hmopco  32512  leop2  32613  leoppos  32615  leoprf  32617  leopsq  32618  leopadd  32621  leopmuli  32622  leopmul  32623  leopmul2i  32624  leopnmid  32627  nmopleid  32628  opsqrlem1  32629  opsqrlem6  32634  elpjrn  32679