Theorem hmopf 31906

Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopf	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hmopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhmop 31905	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ℋchba 30951   ·_ih csp 30954  HrmOpcho 30982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-hilex 31031

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-hmop 31876

This theorem is referenced by:  hmopex  31907  hmopre  31955  hmopadj  31971  hmdmadj  31972  hmoplin  31974  eighmre  31995  eighmorth  31996  hmops  32052  hmopm  32053  hmopd  32054  hmopco  32055  leop2  32156  leoppos  32158  leoprf  32160  leopsq  32161  leopadd  32164  leopmuli  32165  leopmul  32166  leopmul2i  32167  leopnmid  32170  nmopleid  32171  opsqrlem1  32172  opsqrlem6  32177  elpjrn  32222