HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopf 30645
Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopf (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)

Proof of Theorem hmopf
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elhmop 30644 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
21simplbi 498 1 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โ„‹chba 29690   ยทih csp 29693  HrmOpcho 29721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-hilex 29770
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-map 8725  df-hmop 30615
This theorem is referenced by:  hmopex  30646  hmopre  30694  hmopadj  30710  hmdmadj  30711  hmoplin  30713  eighmre  30734  eighmorth  30735  hmops  30791  hmopm  30792  hmopd  30793  hmopco  30794  leop2  30895  leoppos  30897  leoprf  30899  leopsq  30900  leopadd  30903  leopmuli  30904  leopmul  30905  leopmul2i  30906  leopnmid  30909  nmopleid  30910  opsqrlem1  30911  opsqrlem6  30916  elpjrn  30961
  Copyright terms: Public domain W3C validator