HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopf 30702
Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopf (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)

Proof of Theorem hmopf
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elhmop 30701 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
21simplbi 498 1 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   โ„‹chba 29747   ยทih csp 29750  HrmOpcho 29778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-hilex 29827
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8763  df-hmop 30672
This theorem is referenced by:  hmopex  30703  hmopre  30751  hmopadj  30767  hmdmadj  30768  hmoplin  30770  eighmre  30791  eighmorth  30792  hmops  30848  hmopm  30849  hmopd  30850  hmopco  30851  leop2  30952  leoppos  30954  leoprf  30956  leopsq  30957  leopadd  30960  leopmuli  30961  leopmul  30962  leopmul2i  30963  leopnmid  30966  nmopleid  30967  opsqrlem1  30968  opsqrlem6  30973  elpjrn  31018
  Copyright terms: Public domain W3C validator