HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopf 31127
Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopf (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)

Proof of Theorem hmopf
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elhmop 31126 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
21simplbi 499 1 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  HrmOpcho 30203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-hilex 30252
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-hmop 31097
This theorem is referenced by:  hmopex  31128  hmopre  31176  hmopadj  31192  hmdmadj  31193  hmoplin  31195  eighmre  31216  eighmorth  31217  hmops  31273  hmopm  31274  hmopd  31275  hmopco  31276  leop2  31377  leoppos  31379  leoprf  31381  leopsq  31382  leopadd  31385  leopmuli  31386  leopmul  31387  leopmul2i  31388  leopnmid  31391  nmopleid  31392  opsqrlem1  31393  opsqrlem6  31398  elpjrn  31443
  Copyright terms: Public domain W3C validator