Theorem hmopf 32481

Description: A Hermitian operator is a Hilbert space operator (mapping). (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopf	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hmopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhmop 32480	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31526   ·_ih csp 31529  HrmOpcho 31557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-hilex 31606

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-hmop 32451

This theorem is used by:  hmopex  32482  hmopre  32530  hmopadj  32546  hmdmadj  32547  hmoplin  32549  eighmre  32570  eighmorth  32571  hmops  32627  hmopm  32628  hmopd  32629  hmopco  32630  leop2  32731  leoppos  32733  leoprf  32735  leopsq  32736  leopadd  32739  leopmuli  32740  leopmul  32741  leopmul2i  32742  leopnmid  32745  nmopleid  32746  opsqrlem1  32747  opsqrlem6  32752  elpjrn  32797