Theorem hmphi 23772

Description: If there is a homeomorphism between spaces, then the spaces are homeomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphi	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≃ 𝐾)

Proof of Theorem hmphi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4337	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		hmph 23771	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≃ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∅c0 4325   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  Homeochmeo 23748   ≃ chmph 23749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8496  df-hmeo 23750  df-hmph 23751

This theorem is referenced by:  hmphref  23776  hmphsym  23777  hmphtr  23778  indishmph  23793  ptcmpfi  23808  t0kq  23813  kqhmph  23814  xrhmph  24963  xrge0hmph  33747  reheibor  37540