Theorem hmphi 24089

Description: If there is a homeomorphism between spaces, then the spaces are homeomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphi	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≃ 𝐾)

Proof of Theorem hmphi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4287	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		hmph 24088	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≃ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  Homeochmeo 24065   ≃ chmph 24066

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-hmeo 24067  df-hmph 24068

This theorem is used by:  hmphref  24093  hmphsym  24094  hmphtr  24095  indishmph  24110  ptcmpfi  24125  t0kq  24130  kqhmph  24131  xrhmph  25261  xrge0hmph  34557  reheibor  38753