MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrhmph 24463
Description: The extended reals are homeomorphic to the interval [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrhmph II ≃ (ordTopβ€˜ ≀ )

Proof of Theorem xrhmph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1rr 12327 . . . 4 -1 ∈ ℝ
2 1re 11214 . . . 4 1 ∈ ℝ
3 neg1lt0 12329 . . . . 5 -1 < 0
4 0lt1 11736 . . . . 5 0 < 1
5 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
61, 5, 2lttri 11340 . . . . 5 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) β†’ -1 < 1)
73, 4, 6mp2an 691 . . . 4 -1 < 1
8 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 1) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· -1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 1) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· -1)))
108, 9icchmeo 24457 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ -1 < 1) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 1) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1))))
111, 2, 7, 10mp3an 1462 . . 3 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 1) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1)))
12 hmphi 23281 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 1) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1))) β†’ II ≃ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1)))
1311, 12ax-mp 5 . 2 II ≃ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1))
14 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))
15 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≀ 𝑦, ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜π‘¦), -𝑒((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜-𝑦))) = (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≀ 𝑦, ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜π‘¦), -𝑒((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜-𝑦)))
1614, 15, 8xrhmeo 24462 . . . 4 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≀ 𝑦, ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜π‘¦), -𝑒((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜-𝑦))) Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≀ 𝑦, ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜π‘¦), -𝑒((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜-𝑦))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1))Homeo(ordTopβ€˜ ≀ )))
1716simpri 487 . . 3 (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≀ 𝑦, ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜π‘¦), -𝑒((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜-𝑦))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1))Homeo(ordTopβ€˜ ≀ ))
18 hmphi 23281 . . 3 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≀ 𝑦, ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜π‘¦), -𝑒((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 1, +∞, (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯))))β€˜-𝑦))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1))Homeo(ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1)) ≃ (ordTopβ€˜ ≀ ))
1917, 18ax-mp 5 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1)) ≃ (ordTopβ€˜ ≀ )
20 hmphtr 23287 . 2 ((II ≃ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1)) ∧ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-1[,]1)) ≃ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ II ≃ (ordTopβ€˜ ≀ ))
2113, 19, 20mp2an 691 1 II ≃ (ordTopβ€˜ ≀ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  -𝑒cxne 13089  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  ordTopcordt 17445  β„‚fldccnfld 20944  Homeochmeo 23257   ≃ chmph 23258  IIcii 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-hmph 23260  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393
This theorem is referenced by:  xrcmp  24464  xrconn  24465
  Copyright terms: Public domain W3C validator