Theorem xrhmph 24901

Description: The extended reals are homeomorphic to the interval [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrhmph	⊢ II ≃ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem xrhmph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1rr 12360	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
2		1re 11240	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		neg1lt0 12362	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
4		0lt1 11764	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
5		0re 11242	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	1, 5, 2	lttri 11366	. . . . 5 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ -1 < 1
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1)))
10	8, 9	icchmeo 24894	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ -1 < 1) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))))
11	1, 2, 7, 10	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)))
12		hmphi 23720	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))) → II ≃ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ II ≃ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) = (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦)))
16	14, 15, 8	xrhmeo 24900	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )))
17	16	simpri 485	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ ))
18		hmphi 23720	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ≃ (ordTop‘ ≤ ))
19	17, 18	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ≃ (ordTop‘ ≤ )
20		hmphtr 23726	. 2 ⊢ ((II ≃ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ≃ (ordTop‘ ≤ )) → II ≃ (ordTop‘ ≤ ))
21	13, 19, 20	mp2an 692	1 ⊢ II ≃ (ordTop‘ ≤ )

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536   Isom wiso 6537  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  -_𝑒cxne 13130  [,]cicc 13370   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  ordTopcordt 17518  ℂ_fldccnfld 21320  Homeochmeo 23696   ≃ chmph 23697  IIcii 24824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-ordt 17520  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-hmph 23699  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-ii 24826

This theorem is referenced by:  xrcmp  24902  xrconn  24903