Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrhmph 23648
 Description: The extended reals are homeomorphic to the interval [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrhmph II ≃ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem xrhmph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1rr 11789 . . . 4 -1 ∈ ℝ
2 1re 10679 . . . 4 1 ∈ ℝ
3 neg1lt0 11791 . . . . 5 -1 < 0
4 0lt1 11200 . . . . 5 0 < 1
5 0re 10681 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
61, 5, 2lttri 10804 . . . . 5 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
73, 4, 6mp2an 691 . . . 4 -1 < 1
8 eqid 2758 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1)))
108, 9icchmeo 23642 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ -1 < 1) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))))
111, 2, 7, 10mp3an 1458 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)))
12 hmphi 22477 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 1) + ((1 − 𝑥) · -1))) ∈ (IIHomeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))) → II ≃ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)))
1311, 12ax-mp 5 . 2 II ≃ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))
14 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
15 eqid 2758 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) = (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦)))
1614, 15, 8xrhmeo 23647 . . . 4 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )))
1716simpri 489 . . 3 (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ ))
18 hmphi 22477 . . 3 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘𝑦), -𝑒((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))‘-𝑦))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ≃ (ordTop‘ ≤ ))
1917, 18ax-mp 5 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ≃ (ordTop‘ ≤ )
20 hmphtr 22483 . 2 ((II ≃ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-1[,]1)) ≃ (ordTop‘ ≤ )) → II ≃ (ordTop‘ ≤ ))
2113, 19, 20mp2an 691 1 II ≃ (ordTop‘ ≤ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4420   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335   Isom wiso 6336  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  -cneg 10909   / cdiv 11335  -𝑒cxne 12545  [,]cicc 12782   ↾t crest 16752  TopOpenctopn 16753  ordTopcordt 16830  ℂfldccnfld 20166  Homeochmeo 22453   ≃ chmph 22454  IIcii 23576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-ordt 16832  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-ps 17876  df-tsr 17877  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-hmph 22456  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-ii 23578 This theorem is referenced by:  xrcmp  23649  xrconn  23650
 Copyright terms: Public domain W3C validator