Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reheibor 36707
Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of ℝ is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
reheibor.3 𝑇 = (MetOpenβ€˜π‘€)
reheibor.4 π‘ˆ = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
reheibor (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))))
Proof of Theorem reheibor
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8473 . . . 4 1o = {βˆ…}
2 snfi 9044 . . . 4 {βˆ…} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2830 . . 3 1o ∈ Fin
4 imassrn 6071 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))
5 0ex 5308 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))
86, 7ismrer1 36706 . . . . . . . . . 10 (βˆ… ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…})))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…}))
101fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (ℝnβ€˜1o) = (ℝnβ€˜{βˆ…})
1110oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…}))
129, 11eleqtrri 2833 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o))
136rexmet 24307 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
1514rrnmet 36697 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
16 metxmet 23840 . . . . . . . . . 10 ((ℝnβ€˜1o) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)) β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9 (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))
18 isismty 36669 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§)))))
1913, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§))))
2012, 19mpbi 229 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§)))
2120simpli 485 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o)
22 f1of 6834 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):β„βŸΆ(ℝ ↑m 1o))
23 frn 6725 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):β„βŸΆ(ℝ ↑m 1o) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) βŠ† (ℝ ↑m 1o))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) βŠ† (ℝ ↑m 1o)
254, 24sstri 3992 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)
2625a1i 11 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o))
27 eqid 2733 . . . 4 ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) = ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
28 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) = (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
29 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)) = (MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))
3014, 27, 28, 29rrnheibor 36705 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)) β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
313, 26, 30sylancr 588 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
32 reheibor.2 . . . . . . 7 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
33 cnxmet 24289 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
35 ax-resscn 11167 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
3634, 35sstrdi 3995 . . . . . . . 8 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
37 xmetres2 23867 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3833, 36, 37sylancr 588 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3932, 38eqeltrid 2838 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
40 xmetres2 23867 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)) β†’ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
4117, 26, 40sylancr 588 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
42 reheibor.3 . . . . . . 7 𝑇 = (MetOpenβ€˜π‘€)
4342, 28ismtyhmeo 36673 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) β†’ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) βŠ† (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
4439, 41, 43syl2anc 585 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) βŠ† (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
4513a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„))
4617a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
4712a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)))
48 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)
49 eqid 2733 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5048, 49, 27ismtyres 36676 . . . . . . 7 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ∧ π‘Œ βŠ† ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 838 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
52 xpss12 5692 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ βŠ† ℝ ∧ π‘Œ βŠ† ℝ) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
5352anidms 568 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
5453resabs1d 6013 . . . . . . . 8 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
5554, 32eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑀)
5655oveq1d 7424 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) = (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5751, 56eleqtrd 2836 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5844, 57sseldd 3984 . . . 4 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
59 hmphi 23281 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))) β†’ 𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
6058, 59syl 17 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ 𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
61 cmphmph 23292 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (𝑇 ∈ Comp β†’ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
62 hmphsym 23286 . . . . 5 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ≃ 𝑇)
63 cmphmph 23292 . . . . 5 ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ≃ 𝑇 β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp β†’ 𝑇 ∈ Comp))
6462, 63syl 17 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp β†’ 𝑇 ∈ Comp))
6561, 64impbid 211 . . 3 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
6660, 65syl 17 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
67 reheibor.4 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (topGenβ€˜ran (,))
68 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
696, 68tgioo 24312 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7067, 69eqtri 2761 . . . . . . 7 π‘ˆ = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7170, 29ismtyhmeo 36673 . . . . . 6 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) βŠ† (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))))
7213, 17, 71mp2an 691 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) βŠ† (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))
7372, 12sselii 3980 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))
74 retopon 24280 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
7567, 74eqeltri 2830 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜β„)
7675toponunii 22418 . . . . 5 ℝ = βˆͺ π‘ˆ
7776hmeocld 23271 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ π‘Œ βŠ† ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))))
7873, 34, 77sylancr 588 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))))
79 ismtybnd 36675 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))) β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
8039, 41, 57, 79syl3anc 1372 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
8178, 80anbi12d 632 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
8231, 66, 813bitr4d 311 1 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  abscabs 15181  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520  Compccmp 22890  Homeochmeo 23257   ≃ chmph 23258  Bndcbnd 36635   Ismty cismty 36666  β„ncrrn 36693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-gz 16863  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-prds 17393  df-pws 17395  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-lm 22733  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-hmeo 23259  df-hmph 23260  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-totbnd 36636  df-bnd 36647  df-ismty 36667  df-rrn 36694
This theorem is referenced by:  icccmpALT  36709
  Copyright terms: Public domain W3C validator