Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reheibor 37010
Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of ℝ is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
reheibor.3 𝑇 = (MetOpenβ€˜π‘€)
reheibor.4 π‘ˆ = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
reheibor (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))))
Proof of Theorem reheibor
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8475 . . . 4 1o = {βˆ…}
2 snfi 9046 . . . 4 {βˆ…} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2827 . . 3 1o ∈ Fin
4 imassrn 6069 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))
5 0ex 5306 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
6 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))
86, 7ismrer1 37009 . . . . . . . . . 10 (βˆ… ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…})))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…}))
101fveq2i 6893 . . . . . . . . . 10 (ℝnβ€˜1o) = (ℝnβ€˜{βˆ…})
1110oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…}))
129, 11eleqtrri 2830 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o))
136rexmet 24527 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
14 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
1514rrnmet 37000 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
16 metxmet 24060 . . . . . . . . . 10 ((ℝnβ€˜1o) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)) β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9 (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))
18 isismty 36972 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§)))))
1913, 17, 18mp2an 688 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§))))
2012, 19mpbi 229 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§)))
2120simpli 482 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o)
22 f1of 6832 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):β„βŸΆ(ℝ ↑m 1o))
23 frn 6723 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):β„βŸΆ(ℝ ↑m 1o) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) βŠ† (ℝ ↑m 1o))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) βŠ† (ℝ ↑m 1o)
254, 24sstri 3990 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)
2625a1i 11 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o))
27 eqid 2730 . . . 4 ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) = ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
28 eqid 2730 . . . 4 (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) = (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
29 eqid 2730 . . . 4 (MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)) = (MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))
3014, 27, 28, 29rrnheibor 37008 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)) β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
313, 26, 30sylancr 585 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
32 reheibor.2 . . . . . . 7 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
33 cnxmet 24509 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
35 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
3634, 35sstrdi 3993 . . . . . . . 8 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
37 xmetres2 24087 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3833, 36, 37sylancr 585 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3932, 38eqeltrid 2835 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
40 xmetres2 24087 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)) β†’ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
4117, 26, 40sylancr 585 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
42 reheibor.3 . . . . . . 7 𝑇 = (MetOpenβ€˜π‘€)
4342, 28ismtyhmeo 36976 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) β†’ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) βŠ† (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
4439, 41, 43syl2anc 582 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) βŠ† (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
4513a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„))
4617a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
4712a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)))
48 eqid 2730 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)
49 eqid 2730 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5048, 49, 27ismtyres 36979 . . . . . . 7 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ∧ π‘Œ βŠ† ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 835 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
52 xpss12 5690 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ βŠ† ℝ ∧ π‘Œ βŠ† ℝ) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
5352anidms 565 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
5453resabs1d 6011 . . . . . . . 8 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
5554, 32eqtr4di 2788 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑀)
5655oveq1d 7426 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) = (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5751, 56eleqtrd 2833 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5844, 57sseldd 3982 . . . 4 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
59 hmphi 23501 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))) β†’ 𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
6058, 59syl 17 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ 𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
61 cmphmph 23512 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (𝑇 ∈ Comp β†’ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
62 hmphsym 23506 . . . . 5 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ≃ 𝑇)
63 cmphmph 23512 . . . . 5 ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ≃ 𝑇 β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp β†’ 𝑇 ∈ Comp))
6462, 63syl 17 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp β†’ 𝑇 ∈ Comp))
6561, 64impbid 211 . . 3 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
6660, 65syl 17 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
67 reheibor.4 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (topGenβ€˜ran (,))
68 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
696, 68tgioo 24532 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7067, 69eqtri 2758 . . . . . . 7 π‘ˆ = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7170, 29ismtyhmeo 36976 . . . . . 6 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) βŠ† (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))))
7213, 17, 71mp2an 688 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) βŠ† (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))
7372, 12sselii 3978 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))
74 retopon 24500 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
7567, 74eqeltri 2827 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜β„)
7675toponunii 22638 . . . . 5 ℝ = βˆͺ π‘ˆ
7776hmeocld 23491 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ π‘Œ βŠ† ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))))
7873, 34, 77sylancr 585 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))))
79 ismtybnd 36978 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))) β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
8039, 41, 57, 79syl3anc 1369 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
8178, 80anbi12d 629 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
8231, 66, 813bitr4d 310 1 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13328  abscabs 15185  topGenctg 17387  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  MetOpencmopn 21134  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740  Compccmp 23110  Homeochmeo 23477   ≃ chmph 23478  Bndcbnd 36938   Ismty cismty 36969  β„ncrrn 36996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-gz 16867  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-prds 17397  df-pws 17399  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-lm 22953  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-hmeo 23479  df-hmph 23480  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-totbnd 36939  df-bnd 36950  df-ismty 36970  df-rrn 36997
This theorem is referenced by:  icccmpALT  37012
  Copyright terms: Public domain W3C validator