Theorem reheibor 36006

Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of ℝ is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reheibor.2	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
reheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
reheibor.4	⊢ 𝑈 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
reheibor	⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem reheibor

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8313	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
2		snfi 8843	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
4		imassrn 5983	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
5		0ex 5232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
6		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
8	6, 7	ismrer1 36005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅})))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
10	1	fveq2i 6786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝn‘1o) = (ℝn‘{∅})
11	10	oveq2i 7295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
12	9, 11	eleqtrri 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o))
13	6	rexmet 23963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
14		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
15	14	rrnmet 35996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ Fin → (ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)))
16		metxmet 23496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)) → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
17	3, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))
18		isismty 35968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))))
19	13, 17, 18	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧))))
20	12, 19	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))
21	20	simpli 484	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o)
22		f1of 6725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o))
23		frn 6616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
25	4, 24	sstri 3931	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
27		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) = ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
28		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
29		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘1o)) = (MetOpen‘(ℝn‘1o))
30	14, 27, 28, 29	rrnheibor 36004	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
31	3, 26, 30	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
32		reheibor.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
33		cnxmet 23945	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
34		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℝ)
35		ax-resscn 10937	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
36	34, 35	sstrdi 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℂ)
37		xmetres2 23523	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
38	33, 36, 37	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
39	32, 38	eqeltrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌))
40		xmetres2 23523	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
41	17, 26, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
42		reheibor.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
43	42, 28	ismtyhmeo 35972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
44	39, 41, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
45	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
46	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
47	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)))
48		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)
49		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
50	48, 49, 27	ismtyres 35975	. . . . . . 7 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
51	45, 46, 47, 34, 50	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
52		xpss12 5605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
53	52	anidms 567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
54	53	resabs1d 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
55	54, 32	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = 𝑀)
56	55	oveq1d 7299	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
57	51, 56	eleqtrd 2842	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
58	44, 57	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
59		hmphi 22937	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
61		cmphmph 22948	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
62		hmphsym 22942	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇)
63		cmphmph 22948	. . . . 5 ⊢ ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇 → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
64	62, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
65	61, 64	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
66	60, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
67		reheibor.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (topGen‘ran (,))
68		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
69	6, 68	tgioo 23968	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
70	67, 69	eqtri 2767	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71	70, 29	ismtyhmeo 35972	. . . . . 6 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))))
72	13, 17, 71	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
73	72, 12	sselii 3919	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
74		retopon 23936	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
75	67, 74	eqeltri 2836	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ (TopOn‘ℝ)
76	75	toponunii 22074	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝑈
77	76	hmeocld 22927	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
78	73, 34, 77	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
79		ismtybnd 35974	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
80	39, 41, 57, 79	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
81	78, 80	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
82	31, 66, 81	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  Vcvv 3433   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257  {csn 4562   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158   × cxp 5588  ran crn 5591   ↾ cres 5592   “ cima 5593   ∘ ccom 5594  ⟶wf 6433  –1-1-onto→wf1o 6436  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  1_oc1o 8299   ↑_m cmap 8624  Fincfn 8742  ℂcc 10878  ℝcr 10879   − cmin 11214  (,)cioo 13088  abscabs 14954  topGenctg 17157  ∞Metcxmet 20591  Metcmet 20592  MetOpencmopn 20596  TopOnctopon 22068  Clsdccld 22176  Compccmp 22546  Homeochmeo 22913   ≃ chmph 22914  Bndcbnd 35934   Ismty cismty 35965  ℝⁿcrrn 35992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cc 10200  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-oadd 8310  df-omul 8311  df-er 8507  df-ec 8509  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-acn 9709  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-gz 16640  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-topgen 17163  df-prds 17167  df-pws 17169  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-cn 22387  df-lm 22389  df-haus 22475  df-cmp 22547  df-hmeo 22915  df-hmph 22916  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-cfil 24428  df-cau 24429  df-cmet 24430  df-totbnd 35935  df-bnd 35946  df-ismty 35966  df-rrn 35993

This theorem is referenced by:  icccmpALT  36008