Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reheibor 36348
Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of ℝ is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
reheibor.3 𝑇 = (MetOpenβ€˜π‘€)
reheibor.4 π‘ˆ = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
reheibor (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem reheibor
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8423 . . . 4 1o = {βˆ…}
2 snfi 8994 . . . 4 {βˆ…} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2830 . . 3 1o ∈ Fin
4 imassrn 6028 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))
5 0ex 5268 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))
86, 7ismrer1 36347 . . . . . . . . . 10 (βˆ… ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…})))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…}))
101fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (ℝnβ€˜1o) = (ℝnβ€˜{βˆ…})
1110oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜{βˆ…}))
129, 11eleqtrri 2833 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o))
136rexmet 24177 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
1514rrnmet 36338 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
16 metxmet 23710 . . . . . . . . . 10 ((ℝnβ€˜1o) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)) β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9 (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))
18 isismty 36310 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§)))))
1913, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§))))
2012, 19mpbi 229 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑧) = (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦)(ℝnβ€˜1o)((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯}))β€˜π‘§)))
2120simpli 485 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o)
22 f1of 6788 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m 1o) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):β„βŸΆ(ℝ ↑m 1o))
23 frn 6679 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})):β„βŸΆ(ℝ ↑m 1o) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) βŠ† (ℝ ↑m 1o))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) βŠ† (ℝ ↑m 1o)
254, 24sstri 3957 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)
2625a1i 11 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o))
27 eqid 2733 . . . 4 ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) = ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
28 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) = (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
29 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)) = (MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))
3014, 27, 28, 29rrnheibor 36346 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)) β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
313, 26, 30sylancr 588 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
32 reheibor.2 . . . . . . 7 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
33 cnxmet 24159 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
35 ax-resscn 11116 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
3634, 35sstrdi 3960 . . . . . . . 8 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
37 xmetres2 23737 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3833, 36, 37sylancr 588 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3932, 38eqeltrid 2838 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
40 xmetres2 23737 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) βŠ† (ℝ ↑m 1o)) β†’ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
4117, 26, 40sylancr 588 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))
42 reheibor.3 . . . . . . 7 𝑇 = (MetOpenβ€˜π‘€)
4342, 28ismtyhmeo 36314 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) β†’ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) βŠ† (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
4439, 41, 43syl2anc 585 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) βŠ† (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
4513a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„))
4617a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o)))
4712a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)))
48 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)
49 eqid 2733 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5048, 49, 27ismtyres 36317 . . . . . . 7 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) ∧ π‘Œ βŠ† ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 838 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
52 xpss12 5652 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ βŠ† ℝ ∧ π‘Œ βŠ† ℝ) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
5352anidms 568 . . . . . . . . 9 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
5453resabs1d 5972 . . . . . . . 8 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
5554, 32eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑀)
5655oveq1d 7376 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) = (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5751, 56eleqtrd 2836 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
5844, 57sseldd 3949 . . . 4 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))))
59 hmphi 23151 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑇Homeo(MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))) β†’ 𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
6058, 59syl 17 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ 𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
61 cmphmph 23162 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (𝑇 ∈ Comp β†’ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
62 hmphsym 23156 . . . . 5 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ≃ 𝑇)
63 cmphmph 23162 . . . . 5 ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ≃ 𝑇 β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp β†’ 𝑇 ∈ Comp))
6462, 63syl 17 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp β†’ 𝑇 ∈ Comp))
6561, 64impbid 211 . . 3 (𝑇 ≃ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
6660, 65syl 17 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpenβ€˜((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))) ∈ Comp))
67 reheibor.4 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (topGenβ€˜ran (,))
68 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
696, 68tgioo 24182 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7067, 69eqtri 2761 . . . . . . 7 π‘ˆ = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7170, 29ismtyhmeo 36314 . . . . . 6 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜1o) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 1o))) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) βŠ† (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))))
7213, 17, 71mp2an 691 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Ismty (ℝnβ€˜1o)) βŠ† (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))
7372, 12sselii 3945 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))
74 retopon 24150 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
7567, 74eqeltri 2830 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜β„)
7675toponunii 22288 . . . . 5 ℝ = βˆͺ π‘ˆ
7776hmeocld 23141 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) ∈ (π‘ˆHomeo(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ π‘Œ βŠ† ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))))
7873, 34, 77sylancr 588 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o)))))
79 ismtybnd 36316 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (∞Metβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))) β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
8039, 41, 57, 79syl3anc 1372 . . 3 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))))
8178, 80anbi12d 632 . 2 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ ((π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ↔ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(ℝnβ€˜1o))) ∧ ((ℝnβ€˜1o) β†Ύ (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ) Γ— ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({βˆ…} Γ— {π‘₯})) β€œ π‘Œ)))))
8231, 66, 813bitr4d 311 1 (π‘Œ βŠ† ℝ β†’ (𝑇 ∈ Comp ↔ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  β„cr 11058   βˆ’ cmin 11393  (,)cioo 13273  abscabs 15128  topGenctg 17327  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805  MetOpencmopn 20809  TopOnctopon 22282  Clsdccld 22390  Compccmp 22760  Homeochmeo 23127   ≃ chmph 23128  Bndcbnd 36276   Ismty cismty 36307  β„ncrrn 36334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-ec 8656  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-gz 16810  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-prds 17337  df-pws 17339  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-lm 22603  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-hmeo 23129  df-hmph 23130  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-totbnd 36277  df-bnd 36288  df-ismty 36308  df-rrn 36335
This theorem is referenced by:  icccmpALT  36350
  Copyright terms: Public domain W3C validator