Theorem reheibor 37846

Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of ℝ is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reheibor.2	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
reheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
reheibor.4	⊢ 𝑈 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
reheibor	⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem reheibor

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8513	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
2		snfi 9083	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
4		imassrn 6089	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
5		0ex 5307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
6		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
8	6, 7	ismrer1 37845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅})))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
10	1	fveq2i 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝn‘1o) = (ℝn‘{∅})
11	10	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
12	9, 11	eleqtrri 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o))
13	6	rexmet 24812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
15	14	rrnmet 37836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ Fin → (ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)))
16		metxmet 24344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)) → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
17	3, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))
18		isismty 37808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))))
19	13, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧))))
20	12, 19	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))
21	20	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o)
22		f1of 6848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o))
23		frn 6743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
25	4, 24	sstri 3993	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) = ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘1o)) = (MetOpen‘(ℝn‘1o))
30	14, 27, 28, 29	rrnheibor 37844	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
31	3, 26, 30	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
32		reheibor.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
33		cnxmet 24793	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
34		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℝ)
35		ax-resscn 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
36	34, 35	sstrdi 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℂ)
37		xmetres2 24371	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
38	33, 36, 37	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
39	32, 38	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌))
40		xmetres2 24371	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
41	17, 26, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
42		reheibor.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
43	42, 28	ismtyhmeo 37812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
44	39, 41, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
45	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
46	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
47	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)))
48		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)
49		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
50	48, 49, 27	ismtyres 37815	. . . . . . 7 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
51	45, 46, 47, 34, 50	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
52		xpss12 5700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
53	52	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
54	53	resabs1d 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
55	54, 32	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = 𝑀)
56	55	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
57	51, 56	eleqtrd 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
58	44, 57	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
59		hmphi 23785	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
61		cmphmph 23796	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
62		hmphsym 23790	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇)
63		cmphmph 23796	. . . . 5 ⊢ ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇 → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
64	62, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
65	61, 64	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
66	60, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
67		reheibor.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (topGen‘ran (,))
68		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
69	6, 68	tgioo 24817	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
70	67, 69	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71	70, 29	ismtyhmeo 37812	. . . . . 6 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))))
72	13, 17, 71	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
73	72, 12	sselii 3980	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
74		retopon 24784	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
75	67, 74	eqeltri 2837	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ (TopOn‘ℝ)
76	75	toponunii 22922	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝑈
77	76	hmeocld 23775	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
78	73, 34, 77	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
79		ismtybnd 37814	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
80	39, 41, 57, 79	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
81	78, 80	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
82	31, 66, 81	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1_oc1o 8499   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℂcc 11153  ℝcr 11154   − cmin 11492  (,)cioo 13387  abscabs 15273  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  MetOpencmopn 21354  TopOnctopon 22916  Clsdccld 23024  Compccmp 23394  Homeochmeo 23761   ≃ chmph 23762  Bndcbnd 37774   Ismty cismty 37805  ℝⁿcrrn 37832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-gz 16968  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-prds 17492  df-pws 17494  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-lm 23237  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-hmeo 23763  df-hmph 23764  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-totbnd 37775  df-bnd 37786  df-ismty 37806  df-rrn 37833

This theorem is referenced by:  icccmpALT  37848