Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reheibor 37825
Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
reheibor.3 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
reheibor.4 𝑈 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
reheibor (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem reheibor
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8511 . . . 4 1o = {∅}
2 snfi 9081 . . . 4 {∅} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2834 . . 3 1o ∈ Fin
4 imassrn 6090 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
5 0ex 5312 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
6 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
86, 7ismrer1 37824 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅})))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
101fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (ℝn‘1o) = (ℝn‘{∅})
1110oveq2i 7441 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
129, 11eleqtrri 2837 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o))
136rexmet 24826 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
14 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m 1o) = (ℝ ↑m 1o)
1514rrnmet 37815 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ Fin → (ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)))
16 metxmet 24359 . . . . . . . . . 10 ((ℝn‘1o) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 1o)) → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9 (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))
18 isismty 37787 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))))
1913, 17, 18mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧))))
2012, 19mpbi 230 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1o)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))
2120simpli 483 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o)
22 f1of 6848 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o))
23 frn 6743 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑m 1o) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
254, 24sstri 4004 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)
2625a1i 11 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o))
27 eqid 2734 . . . 4 ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) = ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
28 eqid 2734 . . . 4 (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
29 eqid 2734 . . . 4 (MetOpen‘(ℝn‘1o)) = (MetOpen‘(ℝn‘1o))
3014, 27, 28, 29rrnheibor 37823 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
313, 26, 30sylancr 587 . 2 (𝑌 ⊆ ℝ → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
32 reheibor.2 . . . . . . 7 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
33 cnxmet 24808 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℝ)
35 ax-resscn 11209 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3634, 35sstrdi 4007 . . . . . . . 8 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℂ)
37 xmetres2 24386 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3833, 36, 37sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3932, 38eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌))
40 xmetres2 24386 . . . . . . 7 (((ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑m 1o)) → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
4117, 26, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
42 reheibor.3 . . . . . . 7 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
4342, 28ismtyhmeo 37791 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
4439, 41, 43syl2anc 584 . . . . 5 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
4513a1i 11 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
4617a1i 11 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o)))
4712a1i 11 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)))
48 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)
49 eqid 2734 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
5048, 49, 27ismtyres 37794 . . . . . . 7 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 839 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
52 xpss12 5703 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
5352anidms 566 . . . . . . . . 9 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
5453resabs1d 6027 . . . . . . . 8 (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
5554, 32eqtr4di 2792 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = 𝑀)
5655oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
5751, 56eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
5844, 57sseldd 3995 . . . 4 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
59 hmphi 23800 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
6058, 59syl 17 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
61 cmphmph 23811 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
62 hmphsym 23805 . . . . 5 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇)
63 cmphmph 23811 . . . . 5 ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇 → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
6462, 63syl 17 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → ((MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
6561, 64impbid 212 . . 3 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
6660, 65syl 17 . 2 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
67 reheibor.4 . . . . . . . 8 𝑈 = (topGen‘ran (,))
68 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
696, 68tgioo 24831 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7067, 69eqtri 2762 . . . . . . 7 𝑈 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7170, 29ismtyhmeo 37791 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1o) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 1o))) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))))
7213, 17, 71mp2an 692 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1o)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
7372, 12sselii 3991 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o)))
74 retopon 24799 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
7567, 74eqeltri 2834 . . . . . 6 𝑈 ∈ (TopOn‘ℝ)
7675toponunii 22937 . . . . 5 ℝ = 𝑈
7776hmeocld 23790 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
7873, 34, 77sylancr 587 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o)))))
79 ismtybnd 37793 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
8039, 41, 57, 79syl3anc 1370 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
8178, 80anbi12d 632 . 2 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1o))) ∧ ((ℝn‘1o) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
8231, 66, 813bitr4d 311 1 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  ccom 5692  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  1oc1o 8497  m cmap 8864  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  cmin 11489  (,)cioo 13383  abscabs 15269  topGenctg 17483  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  MetOpencmopn 21371  TopOnctopon 22931  Clsdccld 23039  Compccmp 23409  Homeochmeo 23776  chmph 23777  Bndcbnd 37753   Ismty cismty 37784  ncrrn 37811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-prds 17493  df-pws 17495  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-lm 23252  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-hmeo 23778  df-hmph 23779  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-totbnd 37754  df-bnd 37765  df-ismty 37785  df-rrn 37812
This theorem is referenced by:  icccmpALT  37827
  Copyright terms: Public domain W3C validator