Theorem xrge0hmph 33865

Description: The extended nonnegative reals are homeomorphic to the closed unit interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0hmph	⊢ II ≃ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0hmph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3	1, 2	iccpnfhmeo 24911	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) ∈ (IIHomeo((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
4	3	simpri 485	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) ∈ (IIHomeo((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
5		hmphi 23730	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥)))) ∈ (IIHomeo((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → II ≃ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ II ≃ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4505   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7412  0cc0 11136  1c1 11137  +∞cpnf 11273   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11473   / cdiv 11901  [,]cicc 13371   ↾_t crest 17435  ordTopcordt 17514  Homeochmeo 23706   ≃ chmph 23707  IIcii 24836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13135  df-xadd 13136  df-xmul 13137  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13529  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-struct 17165  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-starv 17287  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-unif 17295  df-rest 17437  df-topn 17438  df-topgen 17458  df-ordt 17516  df-ps 18579  df-tsr 18580  df-psmet 21317  df-xmet 21318  df-met 21319  df-bl 21320  df-mopn 21321  df-cnfld 21326  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cn 23180  df-hmeo 23708  df-hmph 23709  df-xms 24274  df-ms 24275  df-ii 24838

This theorem is referenced by: (None)