Theorem kqhmph 23941

Description: A topological space is T₀ iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqhmph	⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Proof of Theorem kqhmph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 23451	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 23040	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) = (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
5	4	t0kq 23940	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
7	6	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)))
8		hmphi 23899	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)) → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
10		hmphsym 23904	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ≃ 𝐽)
11		hmphtop1 23901	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12		kqt0 23868	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
14		t0hmph 23912	. . 3 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Kol2))
15	10, 13, 14	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Kol2)
16	9, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  {crab 3423  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Topctop 23015  TopOnctopon 23032  Kol2ct0 23428  KQckq 23815  Homeochmeo 23875   ≃ chmph 23876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-map 8822  df-qtop 17557  df-top 23016  df-topon 23033  df-cn 23349  df-t0 23435  df-kq 23816  df-hmeo 23877  df-hmph 23878

This theorem is referenced by:  ist1-5lem  23942  t1r0  23943