MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kqhmph 23843
Description: A topological space is T0 iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqhmph (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Proof of Theorem kqhmph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t0top 23353 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22940 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
31, 2sylib 218 . . . . 5 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) = (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦})
54t0kq 23842 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
63, 5syl 17 . . . 4 (𝐽 ∈ Kol2 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
76ibi 267 . . 3 (𝐽 ∈ Kol2 → (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)))
8 hmphi 23801 . . 3 ((𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)) → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
97, 8syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
10 hmphsym 23806 . . 3 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ≃ 𝐽)
11 hmphtop1 23803 . . . 4 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12 kqt0 23770 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
1311, 12sylib 218 . . 3 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
14 t0hmph 23814 . . 3 ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Kol2))
1510, 13, 14sylc 65 . 2 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Kol2)
169, 15impbii 209 1 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2106  {crab 3433   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Kol2ct0 23330  KQckq 23717  Homeochmeo 23777  chmph 23778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-qtop 17554  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251  df-t0 23337  df-kq 23718  df-hmeo 23779  df-hmph 23780
This theorem is referenced by:  ist1-5lem  23844  t1r0  23845
  Copyright terms: Public domain W3C validator