Theorem kqhmph 23713

Description: A topological space is T₀ iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqhmph	⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Proof of Theorem kqhmph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 23223	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 22812	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) = (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
5	4	t0kq 23712	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
7	6	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)))
8		hmphi 23671	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)) → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
10		hmphsym 23676	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ≃ 𝐽)
11		hmphtop1 23673	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12		kqt0 23640	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
14		t0hmph 23684	. . 3 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Kol2))
15	10, 13, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Kol2)
16	9, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  {crab 3408  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Topctop 22787  TopOnctopon 22804  Kol2ct0 23200  KQckq 23587  Homeochmeo 23647   ≃ chmph 23648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-map 8804  df-qtop 17477  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121  df-t0 23207  df-kq 23588  df-hmeo 23649  df-hmph 23650

This theorem is referenced by:  ist1-5lem  23714  t1r0  23715