Theorem kqhmph 24131

Description: A topological space is T₀ iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqhmph	⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Proof of Theorem kqhmph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 23640	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 23229	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) = (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
5	4	t0kq 24130	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
7	6	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)))
8		hmphi 24089	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)) → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
10		hmphsym 24094	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ≃ 𝐽)
11		hmphtop1 24091	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12		kqt0 24058	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
14		t0hmph 24102	. . 3 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Kol2))
15	10, 13, 14	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Kol2)
16	9, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Topctop 23204  TopOnctopon 23221  Kol2ct0 23617  KQckq 24005  Homeochmeo 24065   ≃ chmph 24066

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-map 8842  df-qtop 17672  df-top 23205  df-topon 23222  df-cn 23538  df-t0 23624  df-kq 24006  df-hmeo 24067  df-hmph 24068

This theorem is used by:  ist1-5lem  24132  t1r0  24133