MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kqhmph 23121
Description: A topological space is T0 iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqhmph (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))

Proof of Theorem kqhmph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t0top 22631 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22218 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
31, 2sylib 217 . . . . 5 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) = (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦})
54t0kq 23120 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
63, 5syl 17 . . . 4 (𝐽 ∈ Kol2 → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽))))
76ibi 266 . . 3 (𝐽 ∈ Kol2 → (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)))
8 hmphi 23079 . . 3 ((𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) ∈ (𝐽Homeo(KQ‘𝐽)) → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
97, 8syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
10 hmphsym 23084 . . 3 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ≃ 𝐽)
11 hmphtop1 23081 . . . 4 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
12 kqt0 23048 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
1311, 12sylib 217 . . 3 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
14 t0hmph 23092 . . 3 ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Kol2))
1510, 13, 14sylc 65 . 2 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → 𝐽 ∈ Kol2)
169, 15impbii 208 1 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2106  {crab 3405   cuni 4863   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  Topctop 22193  TopOnctopon 22210  Kol2ct0 22608  KQckq 22995  Homeochmeo 23055  chmph 23056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-1o 8404  df-map 8725  df-qtop 17348  df-top 22194  df-topon 22211  df-cn 22529  df-t0 22615  df-kq 22996  df-hmeo 23057  df-hmph 23058
This theorem is referenced by:  ist1-5lem  23122  t1r0  23123
  Copyright terms: Public domain W3C validator