Theorem homdmcoa 18268

Description: If 𝐹:𝑋⟶𝑌 and 𝐺:𝑌⟶𝑍, then 𝐺 and 𝐹 are composable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homdmcoa.o	⊢ · = (compa‘𝐶)
homdmcoa.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
homdmcoa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
homdmcoa.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))

Assertion

Ref	Expression
homdmcoa	⊢ (𝜑 → 𝐺dom · 𝐹)

Proof of Theorem homdmcoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Arrow‘𝐶) = (Arrow‘𝐶)
2		homdmcoa.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	homarw 18247	. . 3 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ⊆ (Arrow‘𝐶)
4		homdmcoa.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
5	3, 4	sselid 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Arrow‘𝐶))
6	1, 2	homarw 18247	. . 3 ⊢ (𝑌𝐻𝑍) ⊆ (Arrow‘𝐶)
7		homdmcoa.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
8	6, 7	sselid 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Arrow‘𝐶))
9	2	homacd 18242	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (coda‘𝐹) = 𝑌)
10	4, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coda‘𝐹) = 𝑌)
11	2	homadm 18241	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍) → (doma‘𝐺) = 𝑌)
12	7, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (doma‘𝐺) = 𝑌)
13	10, 12	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (coda‘𝐹) = (doma‘𝐺))
14		homdmcoa.o	. . 3 ⊢ · = (compa‘𝐶)
15	14, 1	eldmcoa 18266	. 2 ⊢ (𝐺dom · 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (Arrow‘𝐶) ∧ 𝐺 ∈ (Arrow‘𝐶) ∧ (coda‘𝐹) = (doma‘𝐺)))
16	5, 8, 13, 15	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom · 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  dom_acdoma 18221  cod_accoda 18222  Arrowcarw 18223  Hom_achoma 18224  comp_accoa 18255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-doma 18225  df-coda 18226  df-homa 18227  df-arw 18228  df-coa 18257

This theorem is used by: (None)