HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homul12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homul12 30789
Description: Swap first and second factors in a nested operator scalar product. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homul12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))

Proof of Theorem homul12
StepHypRef Expression
1 mulcom 11142 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
21oveq1d 7373 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡))
323adant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡))
4 homulass 30786 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)))
5 homulass 30786 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
653com12 1124 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
73, 4, 63eqtr3d 2781 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸถwf 6493  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   ยท cmul 11061   โ„‹chba 29903   ยทop chot 29923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-mulcl 11118  ax-mulcom 11120  ax-hilex 29983  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulass 29991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-homul 30715
This theorem is referenced by:  hosubdi  30792
  Copyright terms: Public domain W3C validator