![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > homul12 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Swap first and second factors in a nested operator scalar product. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
homul12 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcom 11142 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1d 7373 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐)) |
3 | 2 | 3adant3 1133 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐)) |
4 | homulass 30786 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐))) | |
5 | homulass 30786 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) | |
6 | 5 | 3com12 1124 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) |
7 | 3, 4, 6 | 3eqtr3d 2781 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โถwf 6493 (class class class)co 7358 โcc 11054 ยท cmul 11061 โchba 29903 ยทop chot 29923 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-mulcl 11118 ax-mulcom 11120 ax-hilex 29983 ax-hfvmul 29989 ax-hvmulass 29991 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-map 8770 df-homul 30715 |
This theorem is referenced by: hosubdi 30792 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |