HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homul12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homul12 29253
Description: Swap first and second factors in a nested operator scalar product. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homul12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem homul12
StepHypRef Expression
1 mulcom 10360 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
21oveq1d 6939 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇))
323adant3 1123 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇))
4 homulass 29250 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)))
5 homulass 29250 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
653com12 1114 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
73, 4, 63eqtr3d 2822 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wf 6133  (class class class)co 6924  cc 10272   · cmul 10279  chba 28365   ·op chot 28385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-mulcl 10336  ax-mulcom 10338  ax-hilex 28445  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulass 28453
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-map 8144  df-homul 29179
This theorem is referenced by:  hosubdi  29256
  Copyright terms: Public domain W3C validator