![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > homul12 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Swap first and second factors in a nested operator scalar product. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
homul12 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcom 11195 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1d 7419 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐)) |
3 | 2 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐)) |
4 | homulass 31559 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐))) | |
5 | homulass 31559 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) | |
6 | 5 | 3com12 1120 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) |
7 | 3, 4, 6 | 3eqtr3d 2774 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐: โโถ โ) โ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โถwf 6532 (class class class)co 7404 โcc 11107 ยท cmul 11114 โchba 30676 ยทop chot 30696 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-mulcl 11171 ax-mulcom 11173 ax-hilex 30756 ax-hfvmul 30762 ax-hvmulass 30764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-map 8821 df-homul 31488 |
This theorem is referenced by: hosubdi 31565 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |