Theorem homul12 31789

Description: Swap first and second factors in a nested operator scalar product. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homul12	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem homul12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 11101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇))
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇))
4		homulass 31786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)))
5		homulass 31786	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
6	5	3com12 1123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐵 · 𝐴) ·op 𝑇) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
7	3, 4, 6	3eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)) = (𝐵 ·op (𝐴 ·op 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6484  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   · cmul 11020   ℋchba 30903   ·_op chot 30923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-mulcl 11077  ax-mulcom 11079  ax-hilex 30983  ax-hfvmul 30989  ax-hvmulass 30991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-map 8760  df-homul 31715

This theorem is referenced by:  hosubdi  31792