HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homul12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homul12 31635
Description: Swap first and second factors in a nested operator scalar product. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homul12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))

Proof of Theorem homul12
StepHypRef Expression
1 mulcom 11232 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
21oveq1d 7441 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡))
323adant3 1129 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡))
4 homulass 31632 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)))
5 homulass 31632 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
653com12 1120 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยทop ๐‘‡) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
73, 4, 63eqtr3d 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)) = (๐ต ยทop (๐ด ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸถwf 6549  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   ยท cmul 11151   โ„‹chba 30749   ยทop chot 30769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-mulcl 11208  ax-mulcom 11210  ax-hilex 30829  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulass 30837
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-homul 31561
This theorem is referenced by:  hosubdi  31638
  Copyright terms: Public domain W3C validator