Theorem honegneg 31753

Description: Double negative of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
honegneg	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)) = 𝑇)

Proof of Theorem honegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1mulneg1e1 12461	. . 3 ⊢ (-1 · -1) = 1
2	1	oveq1i 7423	. 2 ⊢ ((-1 · -1) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇)
3		neg1cn 12362	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		homulass 31749	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((-1 · -1) ·op 𝑇) = (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1452	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((-1 · -1) ·op 𝑇) = (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)))
6		homullid 31747	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2793	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6537  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  1c1 11138   · cmul 11142  -cneg 11475   ℋchba 30866   ·_op chot 30886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-hilex 30946  ax-hfvmul 30952  ax-hvmulid 30953  ax-hvmulass 30954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-sub 11476  df-neg 11477  df-homul 31678

This theorem is referenced by:  hosubneg  31754  honegsubdi  31757