Theorem honegneg 31741

Description: Double negative of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
honegneg	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)) = 𝑇)

Proof of Theorem honegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1mulneg1e1 12400	. . 3 ⊢ (-1 · -1) = 1
2	1	oveq1i 7399	. 2 ⊢ ((-1 · -1) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇)
3		neg1cn 12301	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		homulass 31737	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((-1 · -1) ·op 𝑇) = (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((-1 · -1) ·op 𝑇) = (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)))
6		homullid 31735	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2789	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (-1 ·op (-1 ·op 𝑇)) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6509  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  1c1 11075   · cmul 11079  -cneg 11412   ℋchba 30854   ·_op chot 30874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-hilex 30934  ax-hfvmul 30940  ax-hvmulid 30941  ax-hvmulass 30942

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-ltxr 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-homul 31666

This theorem is referenced by:  hosubneg  31742  honegsubdi  31745