Theorem lauteq 40097

Description: A lattice automorphism argument is equal to its value if all atoms are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lauteq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lauteq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lauteq.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lauteq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐼,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lauteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		lauteq.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		lauteq.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
7		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		lauteq.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	3, 8, 9	lautle 40086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
11	1, 2, 6, 7, 10	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
12		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ((𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
13	11, 12	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
14	13	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
16	15	ralimdva 3167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
17	16	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
18		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐾 ∈ HL)
19		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐼)
20		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	3, 9	lautcl 40089	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 20, 21	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
23	3, 8, 4	hlateq 39401	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
24	18, 22, 20, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
25	17, 24	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LAutclaut 39987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-laut 39991

This theorem is referenced by:  ltrnid  40137