Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lauteq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lauteq 39271
Description: A lattice automorphism argument is equal to its value if all atoms are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lauteq.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lauteq.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lauteq.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lauteq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐹,𝑝   𝐼,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lauteq
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1190 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
3 lauteq.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 lauteq.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atbase 38464 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
65adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
9 lauteq.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
103, 8, 9lautle 39260 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
111, 2, 6, 7, 10syl22anc 835 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
12 breq1 5152 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑝 β†’ ((πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
1311, 12sylan9bb 508 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
1413bicomd 222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
1514ex 411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 𝑝 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
1615ralimdva 3165 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
1716imp 405 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
18 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simpl2 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
20 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
213, 9lautcl 39263 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
2218, 19, 20, 21syl21anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
233, 8, 4hlateq 38575 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋))
2418, 22, 20, 23syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋))
2517, 24mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17150  lecple 17210  Atomscatm 38438  HLchlt 38525  LAutclaut 39161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 38351  df-ol 38353  df-oml 38354  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-laut 39165
This theorem is referenced by:  ltrnid  39311
  Copyright terms: Public domain W3C validator