Proof of Theorem lauteq
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 2 |  | simpl2 1193 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐼) | 
| 3 |  | lauteq.b | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) | 
| 4 |  | lauteq.a | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) | 
| 5 | 3, 4 | atbase 39290 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵) | 
| 6 | 5 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵) | 
| 7 |  | simpl3 1194 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵) | 
| 8 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . 9
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) | 
| 9 |  | lauteq.i | . . . . . . . . 9
⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾) | 
| 10 | 3, 8, 9 | lautle 40086 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))) | 
| 11 | 1, 2, 6, 7, 10 | syl22anc 839 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))) | 
| 12 |  | breq1 5146 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ((𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))) | 
| 13 | 11, 12 | sylan9bb 509 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))) | 
| 14 | 13 | bicomd 223 | . . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)) | 
| 15 | 14 | ex 412 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))) | 
| 16 | 15 | ralimdva 3167 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))) | 
| 17 | 16 | imp 406 | . 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)) | 
| 18 |  | simpl1 1192 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 19 |  | simpl2 1193 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐼) | 
| 20 |  | simpl3 1194 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝑋 ∈ 𝐵) | 
| 21 | 3, 9 | lautcl 40089 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) | 
| 22 | 18, 19, 20, 21 | syl21anc 838 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵) | 
| 23 | 3, 8, 4 | hlateq 39401 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋)) | 
| 24 | 18, 22, 20, 23 | syl3anc 1373 | . 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋)) | 
| 25 | 17, 24 | mpbid 232 | 1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋) |