Theorem lauteq 39695

Description: A lattice automorphism argument is equal to its value if all atoms are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lauteq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lauteq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lauteq.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lauteq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐼,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lauteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		lauteq.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		lauteq.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 38888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
7		simpl3 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		lauteq.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	3, 8, 9	lautle 39684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
11	1, 2, 6, 7, 10	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
12		breq1 5152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ((𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
13	11, 12	sylan9bb 508	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
14	13	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
15	14	ex 411	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
16	15	ralimdva 3156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
17	16	imp 405	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
18		simpl1 1188	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐾 ∈ HL)
19		simpl2 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐼)
20		simpl3 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	3, 9	lautcl 39687	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 20, 21	syl21anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
23	3, 8, 4	hlateq 38999	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
24	18, 22, 20, 23	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
25	17, 24	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  Atomscatm 38862  HLchlt 38949  LAutclaut 39585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-laut 39589

This theorem is referenced by:  ltrnid  39735