Theorem lauteq 40078

Description: A lattice automorphism argument is equal to its value if all atoms are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lauteq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lauteq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lauteq.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lauteq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐼,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lauteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		lauteq.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		lauteq.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
7		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		lauteq.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	3, 8, 9	lautle 40067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
11	1, 2, 6, 7, 10	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
12		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ((𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
13	11, 12	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
14	13	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
16	15	ralimdva 3165	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
17	16	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
18		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐾 ∈ HL)
19		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐼)
20		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	3, 9	lautcl 40070	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 20, 21	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
23	3, 8, 4	hlateq 39382	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
24	18, 22, 20, 23	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
25	17, 24	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LAutclaut 39968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-laut 39972

This theorem is referenced by:  ltrnid  40118