Theorem lauteq 40541

Description: A lattice automorphism argument is equal to its value if all atoms are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lauteq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lauteq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lauteq.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lauteq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐼,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lauteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		lauteq.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		lauteq.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
7		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		lauteq.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	3, 8, 9	lautle 40530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
11	1, 2, 6, 7, 10	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
12		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ((𝐹‘𝑝)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
13	11, 12	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
14	13	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
16	15	ralimdva 3150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
17	16	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
18		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐾 ∈ HL)
19		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐼)
20		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	3, 9	lautcl 40533	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 20, 21	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
23	3, 8, 4	hlateq 39845	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
24	18, 22, 20, 23	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑋))
25	17, 24	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  lecple 17227  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  LAutclaut 40431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-laut 40435

This theorem is referenced by:  ltrnid  40581