Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islaut 37255
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautset.l = (le‘𝐾)
lautset.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islaut (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lautset.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lautset.i . . . 4 𝐼 = (LAut‘𝐾)
41, 2, 3lautset 37254 . . 3 (𝐾𝐴𝐼 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))})
54eleq2d 2896 . 2 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))}))
6 f1of 6591 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
71fvexi 6660 . . . . 5 𝐵 ∈ V
8 fex 6965 . . . . 5 ((𝐹:𝐵𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8sylancl 588 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹 ∈ V)
109adantr 483 . . 3 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V)
11 f1oeq1 6580 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
12 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
1412, 13breq12d 5055 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) (𝑓𝑦) ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1514bibi2d 345 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
16152ralbidv 3186 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
1711, 16anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦))) ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
1810, 17elab3 3654 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
195, 18syl6bb 289 1 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  {cab 2798  wral 3125  Vcvv 3473   class class class wbr 5042  wf 6327  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  Basecbs 16462  lecple 16551  LAutclaut 37157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-map 8386  df-laut 37161
This theorem is referenced by:  lautle  37256  laut1o  37257  lautcnv  37262  idlaut  37268  lautco  37269  cdleme50laut  37719
  Copyright terms: Public domain W3C validator