Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islaut 36104
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautset.l = (le‘𝐾)
lautset.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islaut (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lautset.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lautset.i . . . 4 𝐼 = (LAut‘𝐾)
41, 2, 3lautset 36103 . . 3 (𝐾𝐴𝐼 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))})
54eleq2d 2864 . 2 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))}))
6 f1of 6356 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
71fvexi 6425 . . . . 5 𝐵 ∈ V
8 fex 6718 . . . . 5 ((𝐹:𝐵𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8sylancl 581 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹 ∈ V)
109adantr 473 . . 3 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V)
11 f1oeq1 6345 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
12 fveq1 6410 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6410 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
1412, 13breq12d 4856 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) (𝑓𝑦) ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1514bibi2d 334 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
16152ralbidv 3170 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
1711, 16anbi12d 625 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦))) ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
1810, 17elab3 3550 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
195, 18syl6bb 279 1 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {cab 2785  wral 3089  Vcvv 3385   class class class wbr 4843  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  LAutclaut 36006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-laut 36010
This theorem is referenced by:  lautle  36105  laut1o  36106  lautcnv  36111  idlaut  36117  lautco  36118  cdleme50laut  36568
  Copyright terms: Public domain W3C validator