Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind1 33507
Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem ind1
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → 𝐴𝑂)
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
31, 2sseldd 3976 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → 𝑋𝑂)
4 indfval 33506 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
53, 4syld3an3 1406 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
6 iftrue 4527 . . 3 (𝑋𝐴 → if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
763ad2ant3 1132 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
85, 7eqtrd 2764 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  ifcif 4521  cfv 6534  0cc0 11107  1c1 11108  𝟭cind 33500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-ind 33501
This theorem is referenced by:  indsum  33511  indsumin  33512
  Copyright terms: Public domain W3C validator