Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind1 33959
Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem ind1
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → 𝐴𝑂)
2 simp3 1136 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
31, 2sseldd 3996 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → 𝑋𝑂)
4 indfval 33958 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
53, 4syld3an3 1407 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
6 iftrue 4536 . . 3 (𝑋𝐴 → if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
763ad2ant3 1133 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
85, 7eqtrd 2773 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1535  wcel 2104  wss 3963  ifcif 4530  cfv 6558  0cc0 11146  1c1 11147  𝟭cind 33952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7428  df-ind 33953
This theorem is referenced by:  indsum  33963  indsumin  33964
  Copyright terms: Public domain W3C validator