Theorem ind1 32034

Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind1	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem ind1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
2		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3927	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑂)
4		indfval 32033	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
5	3, 4	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
6		iftrue 4471	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
7	6	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
8	5, 7	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  ifcif 4465  ‘cfv 6458  0cc0 10921  1c1 10922  𝟭cind 32027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-ind 32028

This theorem is referenced by:  indsum  32038  indsumin  32039