Theorem indsum 33305

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
indsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑂   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem indsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsum.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
2	1	sselda 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑂)
3		pr01ssre 32285	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
4		indsum.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
5		indf 33299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
6	4, 1, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	6	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ {0, 1})
8	3, 7	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
10		indsum.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11238	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
12	2, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
13	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑂 ∈ Fin)
14	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
15		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴))
16		ind0 33302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
18	17	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19		difssd 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
20	19	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑂)
21	10	mul02d 11416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (0 · 𝐵) = 0)
22	20, 21	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (0 · 𝐵) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 0)
24	1, 12, 23, 4	fsumss 15675	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵))
25	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ Fin)
26	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
27		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
28		ind1 33301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
30	29	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
31	10	mullidd 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
32	2, 31	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	30, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 𝐵)
34	33	sumeq2dv 15653	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
35	24, 34	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {cpr 4630  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  Σcsu 15636  𝟭cind 33294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-ind 33295

This theorem is referenced by: (None)