Theorem indsum 15915

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. Note: this theorem cannot be efficiently shortened using sumss2 15812, unless there are some additional auxiliary theorems like (if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
indsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑂   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem indsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsum.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
2	1	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑂)
3		indsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
4	3, 1	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂))
5		fvindre 12250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
8		indsum.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
10	2, 9	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
11	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑂 ∈ Fin)
12	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴))
14		ind0 12252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
16	15	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
17		difssd 4084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
18	17	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑂)
19	8	mul02d 11432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (0 · 𝐵) = 0)
20	18, 19	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (0 · 𝐵) = 0)
21	16, 20	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 0)
22	1, 10, 21, 3	fsumss 15811	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵))
23	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ Fin)
24	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26		ind1 12251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
28	27	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
29	8	mullidd 11251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
30	2, 29	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
31	28, 30	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 𝐵)
32	31	sumeq2dv 15789	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
33	22, 32	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  𝟭cind 12242  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-ind 12243  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774

This theorem is used by:  indsumhash  15916