Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indsum 32560
Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
indsum.1 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
indsum.2 (𝜑𝐴𝑂)
indsum.3 ((𝜑𝑥𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
indsum (𝜑 → Σ𝑥𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑂   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem indsum
StepHypRef Expression
1 indsum.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑂)
21sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑂)
3 pr01ssre 31664 . . . . . . 7 {0, 1} ⊆ ℝ
4 indsum.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
5 indf 32554 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
64, 1, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
76ffvelcdmda 7034 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ {0, 1})
83, 7sselid 3942 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
98recnd 11182 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
10 indsum.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 11174 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
122, 11syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
134adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → 𝑂 ∈ Fin)
141adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → 𝐴𝑂)
15 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐴))
16 ind0 32557 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑂𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
1817oveq1d 7371 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19 difssd 4092 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐴) ⊆ 𝑂)
2019sselda 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → 𝑥𝑂)
2110mul02d 11352 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑂) → (0 · 𝐵) = 0)
2220, 21syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → (0 · 𝐵) = 0)
2318, 22eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑂𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 0)
241, 12, 23, 4fsumss 15609 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵))
254adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑂 ∈ Fin)
261adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴𝑂)
27 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
28 ind1 32556 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑂𝑥𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
3029oveq1d 7371 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
3110mulid2d 11172 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑂) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
322, 31syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3330, 32eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 𝐵)
3433sumeq2dv 15587 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥𝐴 𝐵)
3524, 34eqtr3d 2778 1 (𝜑 → Σ𝑥𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3907  wss 3910  {cpr 4588  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  Fincfn 8882  cc 11048  cr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   · cmul 11055  Σcsu 15569  𝟭cind 32549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-clim 15369  df-sum 15570  df-ind 32550
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator