Theorem indsum 15782

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. Note: this theorem cannot be efficiently shortened using sumss2 15679, unless there are some additional auxiliary theorems like (if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
indsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑂   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem indsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsum.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
2	1	sselda 3922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑂)
3		indsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
4	3, 1	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂))
5		fvindre 12158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
8		indsum.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
10	2, 9	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
11	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑂 ∈ Fin)
12	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴))
14		ind0 12160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
16	15	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
17		difssd 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
18	17	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑂)
19	8	mul02d 11335	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (0 · 𝐵) = 0)
20	18, 19	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (0 · 𝐵) = 0)
21	16, 20	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 0)
22	1, 10, 21, 3	fsumss 15678	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵))
23	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ Fin)
24	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26		ind1 12159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
28	27	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
29	8	mullidd 11154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
30	2, 29	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
31	28, 30	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 𝐵)
32	31	sumeq2dv 15655	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
33	22, 32	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  𝟭cind 12150  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-ind 12151  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  indsumhash  15783