Theorem indsum 31889

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
indsum.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑂   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem indsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsum.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
2	1	sselda 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑂)
3		pr01ssre 31040	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
4		indsum.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
5		indf 31883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
6	4, 1, 5	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	6	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ {0, 1})
8	3, 7	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
10		indsum.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 10926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
12	2, 11	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) ∈ ℂ)
13	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑂 ∈ Fin)
14	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴))
16		ind0 31886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 0)
18	17	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19		difssd 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
20	19	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑂)
21	10	mul02d 11103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (0 · 𝐵) = 0)
22	20, 21	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (0 · 𝐵) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 0)
24	1, 12, 23, 4	fsumss 15365	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵))
25	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ Fin)
26	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
28		ind1 31885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)
30	29	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
31	10	mulid2d 10924	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
32	2, 31	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	30, 32	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = 𝐵)
34	33	sumeq2dv 15343	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
35	24, 34	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) · 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  Σcsu 15325  𝟭cind 31878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-ind 31879

This theorem is referenced by: (None)