Theorem indsumin 33514

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsumin.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indsumin.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsumin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
indsumin.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsumin	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inindif 4327	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
3		inundif 4438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
4	3	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
6		indsumin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		pr01ssre 11349	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11294	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3922	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
10		indsumin.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
11		indsumin.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
12		indf 12364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15		indsumin.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
16	15	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑂)
17	14, 16	ffvelcdmd 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
18	9, 17	sselid 3911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19		indsumin.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
21	2, 5, 6, 20	fsumsplit 15948	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
22	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
23	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
24		inss2 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
26	25	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
27		ind1 12367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
29	28	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30		inss1 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
32	31	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32, 19	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
35	29, 34	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
36	35	sumeq2dv 15910	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
37	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
38	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
39	15	ssdifd 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (𝑂 ∖ 𝐵))
40	39	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵))
41		ind0 12368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
43	42	oveq1d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44		difssd 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
45	44	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46	45, 19	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	46	mul02d 11545	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
48	43, 47	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
49	48	sumeq2dv 15910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0)
50		diffi 9226	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
51	6, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
52		sumz 15929	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
53	52	olcs 890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
54	51, 53	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
55	49, 54	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
56	36, 55	oveq12d 7467	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0))
57		infi 9297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
58	6, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
59	58, 33	fsumcl 15940	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
60	59	addridd 11547	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
61	21, 56, 60	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {cpr 4590  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Fincfn 9009  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242  𝟭cind 12358  ℤ_≥cuz 13003  Σcsu 15894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-ind 12359  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895

This theorem is used by:  breprexpnat  35367