Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indsumin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indsumin 32847
Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
indsumin.1 (𝜑𝑂𝑉)
indsumin.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3 (𝜑𝐴𝑂)
indsumin.4 (𝜑𝐵𝑂)
indsumin.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
indsumin (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin
StepHypRef Expression
1 inindif 4375 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
3 inundif 4479 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
43eqcomi 2746 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)))
6 indsumin.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 pr01ssre 32826 . . . . . 6 {0, 1} ⊆ ℝ
8 ax-resscn 11212 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3993 . . . . 5 {0, 1} ⊆ ℂ
10 indsumin.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂𝑉)
11 indsumin.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑂)
12 indf 32840 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15 indsumin.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑂)
1615sselda 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑂)
1714, 16ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
189, 17sselid 3981 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19 indsumin.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 11281 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
212, 5, 6, 20fsumsplit 15777 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
2210adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
2311adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
24 inss2 4238 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
2625sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐵)
27 ind1 32842 . . . . . . 7 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2822, 23, 26, 27syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2928oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3231sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
3332, 19syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433mullidd 11279 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
3529, 34eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
3635sumeq2dv 15738 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
3710adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
3811adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
3915ssdifd 4145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑂𝐵))
4039sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂𝐵))
41 ind0 32843 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘 ∈ (𝑂𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4342oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44 difssd 4137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
4544sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
4645, 19syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746mul02d 11459 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
4843, 47eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
4948sumeq2dv 15738 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0)
50 diffi 9215 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
516, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
52 sumz 15758 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5352olcs 877 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5451, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5549, 54eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
5636, 55oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0))
57 infi 9302 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
586, 57syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5958, 33fsumcl 15769 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
6059addridd 11461 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
6121, 56, 603eqtrd 2781 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cuz 12878  Σcsu 15722  𝟭cind 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-ind 32836
This theorem is referenced by:  breprexpnat  34649
  Copyright terms: Public domain W3C validator