Theorem indsumin 32960

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsumin.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indsumin.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsumin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
indsumin.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsumin	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inindif 4329	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
3		inundif 4433	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
6		indsumin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		pr01ssre 32922	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11097	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3945	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
10		indsumin.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
11		indsumin.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
12		indf 32951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15		indsumin.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
16	15	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑂)
17	14, 16	ffvelcdmd 7041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
18	9, 17	sselid 3933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19		indsumin.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
21	2, 5, 6, 20	fsumsplit 15678	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
22	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
23	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
24		inss2 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
26	25	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
27		ind1 32953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
29	28	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30		inss1 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
32	31	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32, 19	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
35	29, 34	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
36	35	sumeq2dv 15639	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
37	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
38	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
39	15	ssdifd 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (𝑂 ∖ 𝐵))
40	39	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵))
41		ind0 32954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
43	42	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44		difssd 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
45	44	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46	45, 19	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	46	mul02d 11345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
48	43, 47	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
49	48	sumeq2dv 15639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0)
50		diffi 9113	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
51	6, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
52		sumz 15659	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
53	52	olcs 877	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
54	51, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
55	49, 54	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
56	36, 55	oveq12d 7388	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0))
57		infi 9184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
58	6, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
59	58, 33	fsumcl 15670	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
60	59	addridd 11347	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
61	21, 56, 60	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {cpr 4584  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045  ℤ_≥cuz 12765  Σcsu 15623  𝟭cind 32946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-sum 15624  df-ind 32947

This theorem is referenced by:  breprexpnat  34818