Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indsumin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indsumin 30925
Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
indsumin.1 (𝜑𝑂𝑉)
indsumin.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3 (𝜑𝐴𝑂)
indsumin.4 (𝜑𝐵𝑂)
indsumin.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
indsumin (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin
StepHypRef Expression
1 inindif 30057 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
3 inundif 4311 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
43eqcomi 2787 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)))
6 indsumin.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 pr01ssre 30289 . . . . . 6 {0, 1} ⊆ ℝ
8 ax-resscn 10394 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3869 . . . . 5 {0, 1} ⊆ ℂ
10 indsumin.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂𝑉)
11 indsumin.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑂)
12 indf 30918 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1310, 11, 12syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1413adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15 indsumin.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑂)
1615sselda 3860 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑂)
1714, 16ffvelrnd 6679 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
189, 17sseldi 3858 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19 indsumin.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 10462 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
212, 5, 6, 20fsumsplit 14960 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
2210adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
2311adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
24 inss2 4095 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
2625sselda 3860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐵)
27 ind1 30920 . . . . . . 7 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2822, 23, 26, 27syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2928oveq1d 6993 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30 inss1 4094 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3231sselda 3860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
3332, 19syldan 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433mulid2d 10460 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
3529, 34eqtrd 2814 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
3635sumeq2dv 14923 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
3710adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
3811adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
3915ssdifd 4009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑂𝐵))
4039sselda 3860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂𝐵))
41 ind0 30921 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘 ∈ (𝑂𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4342oveq1d 6993 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44 difssd 4001 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
4544sselda 3860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
4645, 19syldan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746mul02d 10640 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
4843, 47eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
4948sumeq2dv 14923 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0)
50 diffi 8547 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
516, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
52 sumz 14942 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5352olcs 862 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5451, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5549, 54eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
5636, 55oveq12d 6996 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0))
57 infi 8539 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
586, 57syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5958, 33fsumcl 14953 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
6059addid1d 10642 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
6121, 56, 603eqtrd 2818 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cdif 3828  cun 3829  cin 3830  wss 3831  c0 4180  {cpr 4444  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  Fincfn 8308  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342  cuz 12061  Σcsu 14906  𝟭cind 30913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-ind 30914
This theorem is referenced by:  breprexpnat  31553
  Copyright terms: Public domain W3C validator