Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indsumin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indsumin 33089
Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
indsumin.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰)
indsumin.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
indsumin.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘‚)
indsumin.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐‘‚)
indsumin.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
indsumin (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‚   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)

Proof of Theorem indsumin
StepHypRef Expression
1 inindif 31792 . . . 4 ((๐ด โˆฉ ๐ต) โˆฉ (๐ด โˆ– ๐ต)) = โˆ…
21a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆฉ ๐ต) โˆฉ (๐ด โˆ– ๐ต)) = โˆ…)
3 inundif 4478 . . . . 5 ((๐ด โˆฉ ๐ต) โˆช (๐ด โˆ– ๐ต)) = ๐ด
43eqcomi 2741 . . . 4 ๐ด = ((๐ด โˆฉ ๐ต) โˆช (๐ด โˆ– ๐ต))
54a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐ด โˆฉ ๐ต) โˆช (๐ด โˆ– ๐ต)))
6 indsumin.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7 pr01ssre 32068 . . . . . 6 {0, 1} โŠ† โ„
8 ax-resscn 11169 . . . . . 6 โ„ โŠ† โ„‚
97, 8sstri 3991 . . . . 5 {0, 1} โŠ† โ„‚
10 indsumin.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰)
11 indsumin.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐‘‚)
12 indf 33082 . . . . . . . 8 ((๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โŠ† ๐‘‚) โ†’ ((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต):๐‘‚โŸถ{0, 1})
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต):๐‘‚โŸถ{0, 1})
1413adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต):๐‘‚โŸถ{0, 1})
15 indsumin.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘‚)
1615sselda 3982 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‚)
1714, 16ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โˆˆ {0, 1})
189, 17sselid 3980 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19 indsumin.5 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2018, 19mulcld 11236 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
212, 5, 6, 20fsumsplit 15689 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ)))
2210adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰)
2311adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ๐ต โŠ† ๐‘‚)
24 inss2 4229 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆฉ ๐ต) โŠ† ๐ต
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) โŠ† ๐ต)
2625sselda 3982 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
27 ind1 33084 . . . . . . 7 ((๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โŠ† ๐‘‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) = 1)
2822, 23, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ (((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) = 1)
2928oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = (1 ยท ๐ถ))
30 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆฉ ๐ต) โŠ† ๐ด
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) โŠ† ๐ด)
3231sselda 3982 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
3332, 19syldan 591 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3433mullidd 11234 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ (1 ยท ๐ถ) = ๐ถ)
3529, 34eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)) โ†’ ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = ๐ถ)
3635sumeq2dv 15651 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ)
3710adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰)
3811adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐ต โŠ† ๐‘‚)
3915ssdifd 4140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– ๐ต) โŠ† (๐‘‚ โˆ– ๐ต))
4039sselda 3982 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘‚ โˆ– ๐ต))
41 ind0 33085 . . . . . . . 8 ((๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โŠ† ๐‘‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘‚ โˆ– ๐ต)) โ†’ (((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) = 0)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ (((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) = 0)
4342oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = (0 ยท ๐ถ))
44 difssd 4132 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– ๐ต) โŠ† ๐ด)
4544sselda 3982 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
4645, 19syldan 591 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4746mul02d 11414 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = 0)
4843, 47eqtrd 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = 0)
4948sumeq2dv 15651 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)0)
50 diffi 9181 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– ๐ต) โˆˆ Fin)
516, 50syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– ๐ต) โˆˆ Fin)
52 sumz 15670 . . . . . 6 (((๐ด โˆ– ๐ต) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆจ (๐ด โˆ– ๐ต) โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)0 = 0)
5352olcs 874 . . . . 5 ((๐ด โˆ– ๐ต) โˆˆ Fin โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)0 = 0)
5451, 53syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)0 = 0)
5549, 54eqtrd 2772 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = 0)
5636, 55oveq12d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ + 0))
57 infi 9270 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) โˆˆ Fin)
586, 57syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) โˆˆ Fin)
5958, 33fsumcl 15681 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ โˆˆ โ„‚)
6059addridd 11416 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ + 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ)
6121, 56, 603eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((((๐Ÿญโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆฉ ๐ต)๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {cpr 4630  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ฮฃcsu 15634  ๐Ÿญcind 33077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-ind 33078
This theorem is referenced by:  breprexpnat  33715
  Copyright terms: Public domain W3C validator