Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indsumin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indsumin 31389
 Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
indsumin.1 (𝜑𝑂𝑉)
indsumin.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3 (𝜑𝐴𝑂)
indsumin.4 (𝜑𝐵𝑂)
indsumin.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
indsumin (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin
StepHypRef Expression
1 inindif 30290 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
3 inundif 4388 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
43eqcomi 2810 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)))
6 indsumin.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 pr01ssre 30569 . . . . . 6 {0, 1} ⊆ ℝ
8 ax-resscn 10587 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3927 . . . . 5 {0, 1} ⊆ ℂ
10 indsumin.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂𝑉)
11 indsumin.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑂)
12 indf 31382 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1310, 11, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1413adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15 indsumin.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑂)
1615sselda 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑂)
1714, 16ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
189, 17sseldi 3916 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19 indsumin.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 10654 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
212, 5, 6, 20fsumsplit 15092 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
2210adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
2311adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
24 inss2 4159 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
2625sselda 3918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐵)
27 ind1 31384 . . . . . . 7 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2822, 23, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2928oveq1d 7154 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30 inss1 4158 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3231sselda 3918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
3332, 19syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433mulid2d 10652 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
3529, 34eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
3635sumeq2dv 15055 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
3710adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
3811adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
3915ssdifd 4071 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑂𝐵))
4039sselda 3918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂𝐵))
41 ind0 31385 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘 ∈ (𝑂𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4342oveq1d 7154 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44 difssd 4063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
4544sselda 3918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
4645, 19syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746mul02d 10831 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
4843, 47eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
4948sumeq2dv 15055 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0)
50 diffi 8738 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
516, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
52 sumz 15074 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5352olcs 873 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5451, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5549, 54eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
5636, 55oveq12d 7157 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0))
57 infi 8730 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
586, 57syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5958, 33fsumcl 15085 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
6059addid1d 10833 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
6121, 56, 603eqtrd 2840 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {cpr 4530  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℤ≥cuz 12235  Σcsu 15037  𝟭cind 31377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-ind 31378 This theorem is referenced by:  breprexpnat  32013
 Copyright terms: Public domain W3C validator