Theorem indsumin 34002

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsumin.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indsumin.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsumin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
indsumin.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsumin	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inindif 4380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
3		inundif 4484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
4	3	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
6		indsumin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		pr01ssre 32830	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11209	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 4004	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
10		indsumin.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
11		indsumin.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
12		indf 33995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15		indsumin.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
16	15	sselda 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑂)
17	14, 16	ffvelcdmd 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
18	9, 17	sselid 3992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19		indsumin.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
21	2, 5, 6, 20	fsumsplit 15773	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
22	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
23	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
24		inss2 4245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
26	25	sselda 3994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
27		ind1 33997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
29	28	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30		inss1 4244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
32	31	sselda 3994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32, 19	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
35	29, 34	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
36	35	sumeq2dv 15734	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
37	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
38	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
39	15	ssdifd 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (𝑂 ∖ 𝐵))
40	39	sselda 3994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵))
41		ind0 33998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
43	42	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44		difssd 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
45	44	sselda 3994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46	45, 19	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	46	mul02d 11456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
48	43, 47	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
49	48	sumeq2dv 15734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0)
50		diffi 9213	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
51	6, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
52		sumz 15754	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
53	52	olcs 876	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
54	51, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
55	49, 54	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
56	36, 55	oveq12d 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0))
57		infi 9299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
58	6, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
59	58, 33	fsumcl 15765	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
60	59	addridd 11458	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
61	21, 56, 60	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {cpr 4632  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  ℤ_≥cuz 12875  Σcsu 15718  𝟭cind 33990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-ind 33991

This theorem is referenced by:  breprexpnat  34627