Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indsumin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indsumin 30466
Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
indsumin.1 (𝜑𝑂𝑉)
indsumin.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3 (𝜑𝐴𝑂)
indsumin.4 (𝜑𝐵𝑂)
indsumin.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
indsumin (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin
StepHypRef Expression
1 inindif 29737 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
3 inundif 4206 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
43eqcomi 2774 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)))
6 indsumin.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 pr01ssre 29954 . . . . . 6 {0, 1} ⊆ ℝ
8 ax-resscn 10246 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3770 . . . . 5 {0, 1} ⊆ ℂ
10 indsumin.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂𝑉)
11 indsumin.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑂)
12 indf 30459 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1310, 11, 12syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15 indsumin.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑂)
1615sselda 3761 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑂)
1714, 16ffvelrnd 6550 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
189, 17sseldi 3759 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19 indsumin.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 10314 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
212, 5, 6, 20fsumsplit 14758 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
2210adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
2311adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
24 inss2 3993 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
2625sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐵)
27 ind1 30461 . . . . . . 7 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2822, 23, 26, 27syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
2928oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30 inss1 3992 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3231sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
3332, 19syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433mulid2d 10312 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
3529, 34eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
3635sumeq2dv 14720 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
3710adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑂𝑉)
3811adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝑂)
3915ssdifd 3908 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑂𝐵))
4039sselda 3761 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂𝐵))
41 ind0 30462 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑉𝐵𝑂𝑘 ∈ (𝑂𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
4342oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44 difssd 3900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
4544sselda 3761 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
4645, 19syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746mul02d 10488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
4843, 47eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
4948sumeq2dv 14720 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0)
50 diffi 8399 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
516, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
52 sumz 14740 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5352olcs 902 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5451, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)0 = 0)
5549, 54eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
5636, 55oveq12d 6860 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0))
57 infi 8391 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
586, 57syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5958, 33fsumcl 14751 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
6059addid1d 10490 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
6121, 56, 603eqtrd 2803 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {cpr 4336  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cuz 11886  Σcsu 14703  𝟭cind 30454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-ind 30455
This theorem is referenced by:  breprexpnat  31095
  Copyright terms: Public domain W3C validator