Theorem indsumin 31656

Description: Finite sum of a product with the indicator function / Cartesian product with the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
indsumin.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indsumin.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
indsumin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indsumin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
indsumin.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
indsumin	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem indsumin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inindif 30536	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
3		inundif 4379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
4	3	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
6		indsumin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		pr01ssre 30812	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		ax-resscn 10751	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3896	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
10		indsumin.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
11		indsumin.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
12		indf 31649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
13	10, 11, 12	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
15		indsumin.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
16	15	sselda 3887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑂)
17	14, 16	ffvelrnd 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ {0, 1})
18	9, 17	sseldi 3885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
19		indsumin.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 10818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) ∈ ℂ)
21	2, 5, 6, 20	fsumsplit 15269	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)))
22	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
23	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
24		inss2 4130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
26	25	sselda 3887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
27		ind1 31651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 1)
29	28	oveq1d 7206	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (1 · 𝐶))
30		inss1 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
32	31	sselda 3887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32, 19	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	mulid2d 10816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
35	29, 34	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 𝐶)
36	35	sumeq2dv 15232	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
37	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
38	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
39	15	ssdifd 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (𝑂 ∖ 𝐵))
40	39	sselda 3887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵))
41		ind0 31652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) = 0)
43	42	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = (0 · 𝐶))
44		difssd 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
45	44	sselda 3887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46	45, 19	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	46	mul02d 10995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (0 · 𝐶) = 0)
48	43, 47	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
49	48	sumeq2dv 15232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0)
50		diffi 8884	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
51	6, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
52		sumz 15251	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
53	52	olcs 876	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
54	51, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)0 = 0)
55	49, 54	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = 0)
56	36, 55	oveq12d 7209	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0))
57		infi 8877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
58	6, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
59	58, 33	fsumcl 15262	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
60	59	addid1d 10997	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 + 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)
61	21, 56, 60	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘𝑘) · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3850   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  {cpr 4529  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699  ℤ_≥cuz 12403  Σcsu 15214  𝟭cind 31644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215  df-ind 31645

This theorem is referenced by:  breprexpnat  32280