Theorem ind0 12239

Description: Value of the indicator function where it is 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind0	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 0)

Proof of Theorem ind0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4085	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2		indfval 12236	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
3	1, 2	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
4		eldifn 4086	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	iffalsed 4500	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
7	3, 6	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  ‘cfv 6540  0cc0 11111  1c1 11112  𝟭cind 12229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-ind 12230

This theorem is used by:  indsum  15898  indsumin  33210  elrgspnsubrunlem1  33590  esplyfv  33983  esplyfval3  33985  esplyind  33988