Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind0 31304
Description: Value of the indicator function where it is 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind0 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋 ∈ (𝑂𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 0)

Proof of Theorem ind0
StepHypRef Expression
1 eldifi 4089 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑂𝐴) → 𝑋𝑂)
2 indfval 31302 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
31, 2syl3an3 1162 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋 ∈ (𝑂𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
4 eldifn 4090 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑂𝐴) → ¬ 𝑋𝐴)
543ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋 ∈ (𝑂𝐴)) → ¬ 𝑋𝐴)
65iffalsed 4461 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋 ∈ (𝑂𝐴)) → if(𝑋𝐴, 1, 0) = 0)
73, 6eqtrd 2859 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋 ∈ (𝑂𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  wss 3919  ifcif 4450  cfv 6344  0cc0 10531  1c1 10532  𝟭cind 31296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-ind 31297
This theorem is referenced by:  indsum  31307  indsumin  31308
  Copyright terms: Public domain W3C validator