Theorem ind0 12229

Description: Value of the indicator function where it is 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind0	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 0)

Proof of Theorem ind0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4086	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2		indfval 12226	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
3	1, 2	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
4		eldifn 4087	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	iffalsed 4499	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
7	3, 6	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 ∖ 𝐴)) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4488  ‘cfv 6538  0cc0 11101  1c1 11102  𝟭cind 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-ind 12220

This theorem is referenced by:  indsum  15882  indsumin  33162  elrgspnsubrunlem1  33548  esplyfv  33941  esplyfval3  33943  esplyind  33946