Theorem infordmin 44375

Description: ω is the smallest infinite ordinal. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
infordmin	⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Proof of Theorem infordmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3909	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
2		omelon 9628	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
3		ontri1 6392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ω))
4	3	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ω ↔ ω ⊆ 𝑥))
5	4	con1bid 358	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ ω))
6		nnfi 9165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
7	5, 6	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
8	2, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
9	8	con1d 146	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ω ⊆ 𝑥))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
11	1, 10	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
12	11	rgen 3078	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  Oncon0 6357  ωcom 7863  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-om 7864  df-en 8956  df-fin 8959

This theorem is used by: (None)