Theorem infordmin 41037

Description: ω is the smallest infinite ordinal. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
infordmin	⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Proof of Theorem infordmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3893	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
2		omelon 9334	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
3		ontri1 6285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ω))
4	3	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ω ↔ ω ⊆ 𝑥))
5	4	con1bid 355	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ ω))
6		nnfi 8912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
7	5, 6	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
8	2, 7	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
9	8	con1d 145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ω ⊆ 𝑥))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
11	1, 10	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
12	11	rgen 3073	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  Oncon0 6251  ωcom 7687  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-om 7688  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by: (None)