Theorem infordmin 43509

Description: ω is the smallest infinite ordinal. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
infordmin	⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Proof of Theorem infordmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3913	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
2		omelon 9542	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
3		ontri1 6341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ω))
4	3	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ω ↔ ω ⊆ 𝑥))
5	4	con1bid 355	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ ω))
6		nnfi 9081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
7	5, 6	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
8	2, 7	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
9	8	con1d 145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ω ⊆ 𝑥))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
11	1, 10	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
12	11	rgen 3046	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  Oncon0 6307  ωcom 7799  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-om 7800  df-en 8873  df-fin 8876

This theorem is referenced by: (None)