Theorem infordmin 43888

Description: ω is the smallest infinite ordinal. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
infordmin	⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Proof of Theorem infordmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3913	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
2		omelon 9567	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
3		ontri1 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ω))
4	3	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ω ↔ ω ⊆ 𝑥))
5	4	con1bid 355	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ ω))
6		nnfi 9104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
7	5, 6	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
8	2, 7	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
9	8	con1d 145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ω ⊆ 𝑥))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
11	1, 10	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
12	11	rgen 3054	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  Oncon0 6325  ωcom 7818  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-om 7819  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by: (None)