Theorem infordmin 43528

Description: ω is the smallest infinite ordinal. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
infordmin	⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Proof of Theorem infordmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3927	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
2		omelon 9606	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
3		ontri1 6369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ω))
4	3	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ω ↔ ω ⊆ 𝑥))
5	4	con1bid 355	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ ω))
6		nnfi 9137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
7	5, 6	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
8	2, 7	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ ω ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ Fin))
9	8	con1d 145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ω ⊆ 𝑥))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
11	1, 10	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∖ Fin) → ω ⊆ 𝑥)
12	11	rgen 3047	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ (On ∖ Fin)ω ⊆ 𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  Oncon0 6335  ωcom 7845  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-om 7846  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by: (None)