Theorem nnfi 9121

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5312. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9012	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5094	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8941	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 236	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076   class class class wbr 5090  ωcom 7831   ≈ cen 8909  Fincfn 8912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-sb 2081  df-mo 2556  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-om 7832  df-en 8913  df-fin 8916

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9123  enfii  9139  phplem1  9157  phplem2  9158  php  9160  php2  9161  php3  9162  nndomog  9166  onomeneq  9167  sucdom  9173  ominf  9193  findcard3  9212  nnsdomg  9228  infsdomnn  9230  fiint  9256  cardnn  9907  en2eqpr  9949  en2eleq  9950  infxpenlem  9955  dfac12k  10090  ficardadju  10142  pwsdompw  10145  ackbij2lem1  10160  ackbij1lem3  10163  ackbij1lem5  10165  ackbij1lem14  10174  ackbij1b  10180  fin23lem23  10269  fin23lem22  10270  domtriomlem  10385  gchdju1  10600  gch2  10619  omina  10635  hashgval2  14377  hashdom  14378  hashp1i  14402  hash1snb  14418  hash2pr  14468  pr2pwpr  14478  hash3tr  14490  xpsfrnel  17564  symggen  19482  psgnunilem1  19505  lt6abl  19907  simpgnsgd  20114  znfld  21581  frgpcyg  21594  xpsmet  24411  xpsxms  24563  xpsms  24564  isppw  27144  madefi  27972  oldfi  27973  unidifsnel  32672  unidifsnne  32673  fineqvnttrclse  35365  finxpreclem4  37826  harinf  43549  frlmpwfi  43613  cantnfub2  43837  infordmin  44046