Theorem nnfi 9096

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5303. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8987	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8916	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ωcom 7811   ≈ cen 8884  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-om 7812  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9098  enfii  9114  phplem1  9132  phplem2  9133  php  9135  php2  9136  php3  9137  nndomog  9141  onomeneq  9142  sucdom  9148  ominf  9168  findcard3  9187  nnsdomg  9203  infsdomnn  9205  fiint  9231  cardnn  9881  en2eqpr  9923  en2eleq  9924  infxpenlem  9929  dfac12k  10064  ficardadju  10116  pwsdompw  10119  ackbij2lem1  10134  ackbij1lem3  10137  ackbij1lem5  10139  ackbij1lem14  10148  ackbij1b  10154  fin23lem23  10242  fin23lem22  10243  domtriomlem  10358  gchdju1  10573  gch2  10592  omina  10608  hashgval2  14334  hashdom  14335  hashp1i  14359  hash1snb  14375  hash2pr  14425  pr2pwpr  14435  hash3tr  14447  xpsfrnel  17520  symggen  19439  psgnunilem1  19462  lt6abl  19864  simpgnsgd  20071  znfld  21553  frgpcyg  21566  xpsmet  24360  xpsxms  24512  xpsms  24513  isppw  27094  madefi  27922  oldfi  27923  unidifsnel  32623  unidifsnne  32624  fineqvnttrclse  35287  finxpreclem4  37727  harinf  43483  frlmpwfi  43547  cantnfub2  43771  infordmin  43980