Theorem nnfi 9102

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5089	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3564	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ωcom 7817   ≈ cen 8890  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-om 7818  df-en 8894  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9104  enfii  9120  phplem1  9138  phplem2  9139  php  9141  php2  9142  php3  9143  nndomog  9147  onomeneq  9148  sucdom  9154  ominf  9174  findcard3  9193  nnsdomg  9209  infsdomnn  9211  fiint  9237  cardnn  9887  en2eqpr  9929  en2eleq  9930  infxpenlem  9935  dfac12k  10070  ficardadju  10122  pwsdompw  10125  ackbij2lem1  10140  ackbij1lem3  10143  ackbij1lem5  10145  ackbij1lem14  10154  ackbij1b  10160  fin23lem23  10248  fin23lem22  10249  domtriomlem  10364  gchdju1  10579  gch2  10598  omina  10614  hashgval2  14340  hashdom  14341  hashp1i  14365  hash1snb  14381  hash2pr  14431  pr2pwpr  14441  hash3tr  14453  xpsfrnel  17526  symggen  19445  psgnunilem1  19468  lt6abl  19870  simpgnsgd  20077  znfld  21540  frgpcyg  21553  xpsmet  24347  xpsxms  24499  xpsms  24500  isppw  27077  madefi  27905  oldfi  27906  unidifsnel  32605  unidifsnne  32606  fineqvnttrclse  35268  finxpreclem4  37710  harinf  43462  frlmpwfi  43526  cantnfub2  43750  infordmin  43959