Theorem nnfi 9197

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5361. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9077	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5149	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060   class class class wbr 5145  ωcom 7868   ≈ cen 8963  Fincfn 8966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-om 7869  df-en 8967  df-fin 8970

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9199  enfii  9216  phplem1  9234  phplem2  9235  php  9237  php2  9238  php3  9239  nndomog  9243  onomeneq  9255  sucdom  9262  ominf  9285  findcard3  9312  nnsdomg  9329  infsdomnn  9332  fiint  9361  cardnn  9999  en2eqpr  10043  en2eleq  10044  infxpenlem  10049  dfac12k  10183  ficardadju  10235  pwsdompw  10238  ackbij2lem1  10253  ackbij1lem3  10256  ackbij1lem5  10258  ackbij1lem14  10267  ackbij1b  10273  fin23lem23  10360  fin23lem22  10361  domtriomlem  10476  gchdju1  10690  gch2  10709  omina  10725  hashgval2  14390  hashdom  14391  hashp1i  14415  hash1snb  14431  hash2pr  14483  pr2pwpr  14493  hash3tr  14504  xpsfrnel  17572  symggen  19464  psgnunilem1  19487  lt6abl  19889  simpgnsgd  20096  znfld  21554  frgpcyg  21567  xpsmet  24376  xpsxms  24531  xpsms  24532  isppw  27139  unidifsnel  32461  unidifsnne  32462  finxpreclem4  37114  harinf  42729  frlmpwfi  42796  cantnfub2  43025  infordmin  43236