Theorem nnfi 9152

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5337. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9043	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ωcom 7862   ≈ cen 8940  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-mo 2573  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7863  df-en 8944  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9154  enfii  9170  phplem1  9188  phplem2  9189  php  9191  php2  9192  php3  9193  nndomog  9197  onomeneq  9198  sucdom  9204  ominf  9224  findcard3  9243  nnsdomg  9259  infsdomnn  9261  fiint  9286  cardnn  9949  en2eqpr  9991  en2eleq  9992  infxpenlem  9997  dfac12k  10131  ficardadju  10183  pwsdompw  10186  ackbij2lem1  10201  ackbij1lem3  10204  ackbij1lem5  10206  ackbij1lem14  10215  ackbij1b  10221  fin23lem23  10310  fin23lem22  10311  domtriomlem  10426  gchdju1  10641  gch2  10660  omina  10676  hashgval2  14414  hashdom  14415  hashp1i  14439  hash1snb  14456  hash2pr  14506  pr2pwpr  14516  hash3tr  14528  xpsfrnel  17616  symggen  19540  psgnunilem1  19563  lt6abl  19965  simpgnsgd  20172  znfld  21679  frgpcyg  21692  xpsmet  24508  xpsxms  24660  xpsms  24661  isppw  27244  madefi  28072  oldfi  28073  unidifsnel  32822  unidifsnne  32823  fineqvnttrclse  35460  finxpreclem4  37928  harinf  43653  frlmpwfi  43717  cantnfub2  43941  infordmin  44150  hashnnm  45622  hashnnlt  45623