MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnfi 9118
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5325. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnfi (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrefnn 8998 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴𝐴)
2 breq2 5114 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
32rspcev 3584 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
41, 3mpdan 686 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
5 isfi 8923 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
64, 5sylibr 233 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wrex 3074   class class class wbr 5110  ωcom 7807  cen 8887  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-om 7808  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  ssnnfi  9120  enfii  9140  phplem1  9158  phplem2  9159  php  9161  php2  9162  php3  9163  nndomog  9167  onomeneq  9179  sucdom  9186  ominf  9209  findcard3  9236  nnsdomg  9253  infsdomnn  9256  cardnn  9906  en2eqpr  9950  en2eleq  9951  infxpenlem  9956  dfac12k  10090  ficardadju  10142  pwsdompw  10147  ackbij2lem1  10162  ackbij1lem3  10165  ackbij1lem5  10167  ackbij1lem14  10176  ackbij1b  10182  fin23lem23  10269  fin23lem22  10270  domtriomlem  10385  gchdju1  10599  gch2  10618  omina  10634  hashgval2  14285  hashdom  14286  hashp1i  14310  hash1snb  14326  hash2pr  14375  pr2pwpr  14385  hash3tr  14396  xpsfrnel  17451  symggen  19259  psgnunilem1  19282  lt6abl  19679  simpgnsgd  19886  znfld  20983  frgpcyg  20996  xpsmet  23751  xpsxms  23906  xpsms  23907  isppw  26479  unidifsnel  31504  unidifsnne  31505  finxpreclem4  35894  harinf  41387  frlmpwfi  41454  cantnfub2  41686  infordmin  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator