Theorem nnfi 9092

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5294. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8983	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5076	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ωcom 7806   ≈ cen 8880  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-om 7807  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9094  enfii  9110  phplem1  9128  phplem2  9129  php  9131  php2  9132  php3  9133  nndomog  9137  onomeneq  9138  sucdom  9144  ominf  9164  findcard3  9183  nnsdomg  9199  infsdomnn  9201  fiint  9227  cardnn  9878  en2eqpr  9920  en2eleq  9921  infxpenlem  9926  dfac12k  10061  ficardadju  10113  pwsdompw  10116  ackbij2lem1  10131  ackbij1lem3  10134  ackbij1lem5  10136  ackbij1lem14  10145  ackbij1b  10151  fin23lem23  10239  fin23lem22  10240  domtriomlem  10355  gchdju1  10570  gch2  10589  omina  10605  hashgval2  14331  hashdom  14332  hashp1i  14356  hash1snb  14372  hash2pr  14422  pr2pwpr  14432  hash3tr  14444  xpsfrnel  17517  symggen  19436  psgnunilem1  19459  lt6abl  19861  simpgnsgd  20068  znfld  21535  frgpcyg  21548  xpsmet  24365  xpsxms  24517  xpsms  24518  isppw  27095  madefi  27923  oldfi  27924  unidifsnel  32623  unidifsnne  32624  fineqvnttrclse  35305  finxpreclem4  37756  harinf  43479  frlmpwfi  43543  cantnfub2  43767  infordmin  43976