Theorem nnfi 9221

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5334. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 9040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ωcom 7911   ≈ cen 9008  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-om 7912  df-en 9012  df-fin 9015

This theorem is used by:  ssnnfi  9223  enfii  9239  phplem1  9257  phplem2  9258  php  9260  php2  9261  php3  9262  nndomog  9266  onomeneq  9267  sucdom  9273  ominf  9293  findcard3  9312  nnsdomg  9329  infsdomnn  9331  fiint  9356  cardnn  10081  en2eqpr  10125  en2eleq  10126  infxpenlem  10131  dfac12k  10265  ficardadju  10317  pwsdompw  10320  ackbij2lem1  10335  ackbij1lem3  10338  ackbij1lem5  10340  ackbij1lem14  10349  ackbij1b  10355  fin23lem23  10443  fin23lem22  10444  domtriomlem  10559  gchdju1  10780  gch2  10799  omina  10815  hashgval2  14563  hashdom  14564  hashp1i  14588  hash1snb  14605  hash2pr  14655  pr2pwpr  14665  hash3tr  14677  xpsfrnel  17784  symggen  19735  psgnunilem1  19758  lt6abl  20160  simpgnsgd  20367  znfld  21921  frgpcyg  21934  xpsmet  24756  xpsxms  24908  xpsms  24909  isppw  27498  madefi  28356  oldfi  28357  unidifsnel  33229  unidifsnne  33230  fineqvnttrclse  35933  jltalephlem  36066  finxpreclem4  38585  findcard4  38900  harinf  44307  frlmpwfi  44366  cantnfub2  44585  infordmin  44794  hashnnm  46275  hashnnlt  46276