Theorem nnfi 9233

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5383. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5170	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 9036	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ωcom 7903   ≈ cen 9000  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-om 7904  df-en 9004  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9235  enfii  9252  phplem1  9270  phplem2  9271  php  9273  php2  9274  php3  9275  nndomog  9279  onomeneq  9291  sucdom  9298  ominf  9321  findcard3  9346  nnsdomg  9363  infsdomnn  9366  fiint  9394  cardnn  10032  en2eqpr  10076  en2eleq  10077  infxpenlem  10082  dfac12k  10217  ficardadju  10269  pwsdompw  10272  ackbij2lem1  10287  ackbij1lem3  10290  ackbij1lem5  10292  ackbij1lem14  10301  ackbij1b  10307  fin23lem23  10395  fin23lem22  10396  domtriomlem  10511  gchdju1  10725  gch2  10744  omina  10760  hashgval2  14427  hashdom  14428  hashp1i  14452  hash1snb  14468  hash2pr  14518  pr2pwpr  14528  hash3tr  14540  xpsfrnel  17622  symggen  19512  psgnunilem1  19535  lt6abl  19937  simpgnsgd  20144  znfld  21602  frgpcyg  21615  xpsmet  24413  xpsxms  24568  xpsms  24569  isppw  27175  madefi  27968  oldfi  27969  unidifsnel  32563  unidifsnne  32564  finxpreclem4  37360  harinf  42991  frlmpwfi  43055  cantnfub2  43284  infordmin  43494