Theorem nnfi 9092

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5310. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8983	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5102	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ωcom 7808   ≈ cen 8880  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-om 7809  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9094  enfii  9110  phplem1  9128  phplem2  9129  php  9131  php2  9132  php3  9133  nndomog  9137  onomeneq  9138  sucdom  9144  ominf  9164  findcard3  9183  nnsdomg  9199  infsdomnn  9201  fiint  9227  cardnn  9875  en2eqpr  9917  en2eleq  9918  infxpenlem  9923  dfac12k  10058  ficardadju  10110  pwsdompw  10113  ackbij2lem1  10128  ackbij1lem3  10131  ackbij1lem5  10133  ackbij1lem14  10142  ackbij1b  10148  fin23lem23  10236  fin23lem22  10237  domtriomlem  10352  gchdju1  10567  gch2  10586  omina  10602  hashgval2  14301  hashdom  14302  hashp1i  14326  hash1snb  14342  hash2pr  14392  pr2pwpr  14402  hash3tr  14414  xpsfrnel  17483  symggen  19399  psgnunilem1  19422  lt6abl  19824  simpgnsgd  20031  znfld  21515  frgpcyg  21528  xpsmet  24326  xpsxms  24478  xpsms  24479  isppw  27080  madefi  27909  oldfi  27910  unidifsnel  32610  unidifsnne  32611  fineqvnttrclse  35280  finxpreclem4  37599  harinf  43286  frlmpwfi  43350  cantnfub2  43574  infordmin  43783