Theorem nnfi 9136

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5322. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9020	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5113	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8949	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  ωcom 7844   ≈ cen 8917  Fincfn 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-om 7845  df-en 8921  df-fin 8924

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9138  enfii  9155  phplem1  9173  phplem2  9174  php  9176  php2  9177  php3  9178  nndomog  9182  onomeneq  9183  sucdom  9188  ominf  9211  findcard3  9235  nnsdomg  9252  infsdomnn  9255  fiint  9283  cardnn  9922  en2eqpr  9966  en2eleq  9967  infxpenlem  9972  dfac12k  10107  ficardadju  10159  pwsdompw  10162  ackbij2lem1  10177  ackbij1lem3  10180  ackbij1lem5  10182  ackbij1lem14  10191  ackbij1b  10197  fin23lem23  10285  fin23lem22  10286  domtriomlem  10401  gchdju1  10615  gch2  10634  omina  10650  hashgval2  14349  hashdom  14350  hashp1i  14374  hash1snb  14390  hash2pr  14440  pr2pwpr  14450  hash3tr  14462  xpsfrnel  17531  symggen  19406  psgnunilem1  19429  lt6abl  19831  simpgnsgd  20038  znfld  21476  frgpcyg  21489  xpsmet  24276  xpsxms  24428  xpsms  24429  isppw  27030  madefi  27830  oldfi  27831  unidifsnel  32470  unidifsnne  32471  finxpreclem4  37377  harinf  43016  frlmpwfi  43080  cantnfub2  43304  infordmin  43514