MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnfi 8714
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi
StepHypRef Expression
1 onfin2 8713 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
2 inss2 4209 . . 3 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
31, 2eqsstri 4004 . 2 ω ⊆ Fin
43sseli 3966 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  cin 3938  Oncon0 6194  ωcom 7583  Fincfn 8512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7584  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516
This theorem is referenced by:  cardnn  9395  en2eqpr  9436  en2eleq  9437  infxpenlem  9442  dfac12k  9576  pwsdompw  9629  ackbij2lem1  9644  ackbij1lem3  9647  ackbij1lem5  9649  ackbij1lem14  9658  ackbij1b  9664  fin23lem23  9751  fin23lem22  9752  domtriomlem  9867  gchdju1  10081  gch2  10100  omina  10116  hashgval2  13742  hashdom  13743  hashp1i  13767  hash1snb  13783  hash2pr  13830  pr2pwpr  13840  hash3tr  13851  xpsfrnel  16838  symggen  18601  psgnunilem1  18624  lt6abl  19018  simpgnsgd  19225  znfld  20710  frgpcyg  20723  xpsmet  22995  xpsxms  23147  xpsms  23148  isppw  25694  unidifsnel  30298  unidifsnne  30299  finxpreclem4  34679  harinf  39637  frlmpwfi  39704  infordmin  39905
  Copyright terms: Public domain W3C validator