Theorem nnfi 8310

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 8309	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 3983	. . 3 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 3785	. 2 ⊢ ω ⊆ Fin
4	3	sseli 3749	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3723  Oncon0 5867  ωcom 7213  Fincfn 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-om 7214  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114

This theorem is referenced by:  cardnn  8990  en2eqpr  9031  en2eleq  9032  infxpenlem  9037  dfac12k  9172  pwsdompw  9229  ackbij2lem1  9244  ackbij1lem3  9247  ackbij1lem5  9249  ackbij1lem14  9258  ackbij1b  9264  fin23lem23  9351  fin23lem22  9352  domtriomlem  9467  gchcda1  9681  gch2  9700  omina  9716  hashgval2  13370  hashdom  13371  hashp1i  13394  hash1snb  13410  hash2pr  13454  pr2pwpr  13464  hash3tr  13475  xpsfrnel  16432  symggen  18098  psgnunilem1  18121  lt6abl  18504  znfld  20125  frgpcyg  20138  xpsmet  22408  xpsxms  22560  xpsms  22561  isppw  25062  finxpreclem4  33569  harinf  38128  frlmpwfi  38195