Theorem nnfi 8959

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5289. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5079	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3562	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3066   class class class wbr 5075  ωcom 7721   ≈ cen 8739  Fincfn 8742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353  ax-un 7597

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-om 7722  df-en 8743  df-fin 8746

This theorem is referenced by:  ssnnfi  8961  enfii  8981  phplem1  8999  phplem2  9000  php  9002  php2  9003  php3  9004  nndomog  9008  onomeneq  9020  sucdom  9027  cardnn  9730  en2eqpr  9772  en2eleq  9773  infxpenlem  9778  dfac12k  9912  ficardadju  9964  pwsdompw  9969  ackbij2lem1  9984  ackbij1lem3  9987  ackbij1lem5  9989  ackbij1lem14  9998  ackbij1b  10004  fin23lem23  10091  fin23lem22  10092  domtriomlem  10207  gchdju1  10421  gch2  10440  omina  10456  hashgval2  14102  hashdom  14103  hashp1i  14127  hash1snb  14143  hash2pr  14192  pr2pwpr  14202  hash3tr  14213  xpsfrnel  17282  symggen  19087  psgnunilem1  19110  lt6abl  19505  simpgnsgd  19712  znfld  20777  frgpcyg  20790  xpsmet  23544  xpsxms  23699  xpsms  23700  isppw  26272  unidifsnel  30892  unidifsnne  30893  finxpreclem4  35574  harinf  40863  frlmpwfi  40930  infordmin  41146