Theorem nnfi 8710

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 8709	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 4205	. . 3 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 4000	. 2 ⊢ ω ⊆ Fin
4	3	sseli 3962	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934  Oncon0 6190  ωcom 7579  Fincfn 8508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7580  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512

This theorem is referenced by:  cardnn  9391  en2eqpr  9432  en2eleq  9433  infxpenlem  9438  dfac12k  9572  pwsdompw  9625  ackbij2lem1  9640  ackbij1lem3  9643  ackbij1lem5  9645  ackbij1lem14  9654  ackbij1b  9660  fin23lem23  9747  fin23lem22  9748  domtriomlem  9863  gchdju1  10077  gch2  10096  omina  10112  hashgval2  13738  hashdom  13739  hashp1i  13763  hash1snb  13779  hash2pr  13826  pr2pwpr  13836  hash3tr  13847  xpsfrnel  16834  symggen  18597  psgnunilem1  18620  lt6abl  19014  simpgnsgd  19221  znfld  20706  frgpcyg  20719  xpsmet  22991  xpsxms  23143  xpsms  23144  isppw  25690  unidifsnel  30294  unidifsnne  30295  finxpreclem4  34674  harinf  39629  frlmpwfi  39696  infordmin  39897