Theorem nnfi 9169

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5363. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9049	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8974	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ωcom 7857   ≈ cen 8938  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-om 7858  df-en 8942  df-fin 8945

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9171  enfii  9191  phplem1  9209  phplem2  9210  php  9212  php2  9213  php3  9214  nndomog  9218  onomeneq  9230  sucdom  9237  ominf  9260  findcard3  9287  nnsdomg  9304  infsdomnn  9307  cardnn  9960  en2eqpr  10004  en2eleq  10005  infxpenlem  10010  dfac12k  10144  ficardadju  10196  pwsdompw  10201  ackbij2lem1  10216  ackbij1lem3  10219  ackbij1lem5  10221  ackbij1lem14  10230  ackbij1b  10236  fin23lem23  10323  fin23lem22  10324  domtriomlem  10439  gchdju1  10653  gch2  10672  omina  10688  hashgval2  14340  hashdom  14341  hashp1i  14365  hash1snb  14381  hash2pr  14432  pr2pwpr  14442  hash3tr  14453  xpsfrnel  17510  symggen  19340  psgnunilem1  19363  lt6abl  19765  simpgnsgd  19972  znfld  21122  frgpcyg  21135  xpsmet  23895  xpsxms  24050  xpsms  24051  isppw  26625  unidifsnel  31810  unidifsnne  31811  finxpreclem4  36367  harinf  41861  frlmpwfi  41928  cantnfub2  42160  infordmin  42371