Theorem nnfi 9108

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5315. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ωcom 7822   ≈ cen 8892  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-om 7823  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9110  enfii  9127  phplem1  9145  phplem2  9146  php  9148  php2  9149  php3  9150  nndomog  9154  onomeneq  9155  sucdom  9160  ominf  9181  findcard3  9205  nnsdomg  9222  infsdomnn  9225  fiint  9253  cardnn  9892  en2eqpr  9936  en2eleq  9937  infxpenlem  9942  dfac12k  10077  ficardadju  10129  pwsdompw  10132  ackbij2lem1  10147  ackbij1lem3  10150  ackbij1lem5  10152  ackbij1lem14  10161  ackbij1b  10167  fin23lem23  10255  fin23lem22  10256  domtriomlem  10371  gchdju1  10585  gch2  10604  omina  10620  hashgval2  14319  hashdom  14320  hashp1i  14344  hash1snb  14360  hash2pr  14410  pr2pwpr  14420  hash3tr  14432  xpsfrnel  17501  symggen  19384  psgnunilem1  19407  lt6abl  19809  simpgnsgd  20016  znfld  21502  frgpcyg  21515  xpsmet  24303  xpsxms  24455  xpsms  24456  isppw  27057  madefi  27862  oldfi  27863  unidifsnel  32514  unidifsnne  32515  finxpreclem4  37375  harinf  43016  frlmpwfi  43080  cantnfub2  43304  infordmin  43514