Theorem nnfi 9118

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5325. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8998	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8923	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   class class class wbr 5110  ωcom 7807   ≈ cen 8887  Fincfn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-om 7808  df-en 8891  df-fin 8894

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9120  enfii  9140  phplem1  9158  phplem2  9159  php  9161  php2  9162  php3  9163  nndomog  9167  onomeneq  9179  sucdom  9186  ominf  9209  findcard3  9236  nnsdomg  9253  infsdomnn  9256  cardnn  9908  en2eqpr  9952  en2eleq  9953  infxpenlem  9958  dfac12k  10092  ficardadju  10144  pwsdompw  10149  ackbij2lem1  10164  ackbij1lem3  10167  ackbij1lem5  10169  ackbij1lem14  10178  ackbij1b  10184  fin23lem23  10271  fin23lem22  10272  domtriomlem  10387  gchdju1  10601  gch2  10620  omina  10636  hashgval2  14288  hashdom  14289  hashp1i  14313  hash1snb  14329  hash2pr  14380  pr2pwpr  14390  hash3tr  14401  xpsfrnel  17458  symggen  19266  psgnunilem1  19289  lt6abl  19686  simpgnsgd  19893  znfld  21004  frgpcyg  21017  xpsmet  23772  xpsxms  23927  xpsms  23928  isppw  26500  unidifsnel  31526  unidifsnne  31527  finxpreclem4  35938  harinf  41416  frlmpwfi  41483  cantnfub2  41715  infordmin  41926