Theorem nnfi 9207

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 9087	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5147	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 9016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ωcom 7887   ≈ cen 8982  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9209  enfii  9226  phplem1  9244  phplem2  9245  php  9247  php2  9248  php3  9249  nndomog  9253  onomeneq  9265  sucdom  9271  ominf  9294  findcard3  9318  nnsdomg  9335  infsdomnn  9338  fiint  9366  cardnn  10003  en2eqpr  10047  en2eleq  10048  infxpenlem  10053  dfac12k  10188  ficardadju  10240  pwsdompw  10243  ackbij2lem1  10258  ackbij1lem3  10261  ackbij1lem5  10263  ackbij1lem14  10272  ackbij1b  10278  fin23lem23  10366  fin23lem22  10367  domtriomlem  10482  gchdju1  10696  gch2  10715  omina  10731  hashgval2  14417  hashdom  14418  hashp1i  14442  hash1snb  14458  hash2pr  14508  pr2pwpr  14518  hash3tr  14530  xpsfrnel  17607  symggen  19488  psgnunilem1  19511  lt6abl  19913  simpgnsgd  20120  znfld  21579  frgpcyg  21592  xpsmet  24392  xpsxms  24547  xpsms  24548  isppw  27157  madefi  27950  oldfi  27951  unidifsnel  32553  unidifsnne  32554  finxpreclem4  37395  harinf  43046  frlmpwfi  43110  cantnfub2  43335  infordmin  43545