Theorem nnfi 9077

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5301. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefnn 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		breq2 5093	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
3	2	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4	1, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
5		isfi 8898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ωcom 7796   ≈ cen 8866  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-om 7797  df-en 8870  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  ssnnfi  9079  enfii  9095  phplem1  9113  phplem2  9114  php  9116  php2  9117  php3  9118  nndomog  9122  onomeneq  9123  sucdom  9128  ominf  9148  findcard3  9167  nnsdomg  9183  infsdomnn  9185  fiint  9211  cardnn  9856  en2eqpr  9898  en2eleq  9899  infxpenlem  9904  dfac12k  10039  ficardadju  10091  pwsdompw  10094  ackbij2lem1  10109  ackbij1lem3  10112  ackbij1lem5  10114  ackbij1lem14  10123  ackbij1b  10129  fin23lem23  10217  fin23lem22  10218  domtriomlem  10333  gchdju1  10547  gch2  10566  omina  10582  hashgval2  14285  hashdom  14286  hashp1i  14310  hash1snb  14326  hash2pr  14376  pr2pwpr  14386  hash3tr  14398  xpsfrnel  17466  symggen  19382  psgnunilem1  19405  lt6abl  19807  simpgnsgd  20014  znfld  21497  frgpcyg  21510  xpsmet  24297  xpsxms  24449  xpsms  24450  isppw  27051  madefi  27858  oldfi  27859  unidifsnel  32515  unidifsnne  32516  fineqvnttrclse  35144  finxpreclem4  37438  harinf  43137  frlmpwfi  43201  cantnfub2  43425  infordmin  43635