Theorem invid 16806

Description: The inverse of the identity is the identity. (Contributed by AV, 8-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
invid	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem invid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
3		invid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	sectid 16805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Sect‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
6		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
8	1, 6, 3, 4, 4, 7	isinv 16779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋) ↔ ((𝐼‘𝑋)(𝑋(Sect‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋) ∧ (𝐼‘𝑋)(𝑋(Sect‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))))
9	5, 5, 8	mpbir2and 704	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  Catccat 16684  Idccid 16685  Sectcsect 16763  Invcinv 16764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-cat 16688  df-cid 16689  df-sect 16766  df-inv 16767

This theorem is referenced by:  idiso  16807  idinv  16808