MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idiso 17510
Description: The identity is an isomorphism. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 8-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invid.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
idiso (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem idiso
StepHypRef Expression
1 invid.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2738 . 2 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 invid.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invid.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
5 eqid 2738 . 2 (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
6 invid.i . . 3 𝐼 = (Id‘𝐶)
71, 6, 3, 4invid 17509 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼𝑋))
81, 2, 3, 4, 4, 5, 7inviso1 17488 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  Catccat 17383  Idccid 17384  Invcinv 17467  Isociso 17468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-cat 17387  df-cid 17388  df-sect 17469  df-inv 17470  df-iso 17471
This theorem is referenced by:  invisoinvl  17512  cicref  17523
  Copyright terms: Public domain W3C validator