Theorem idiso 17870

Description: The identity is an isomorphism. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 8-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idiso	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem idiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2766	. 2 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		invid.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		eqid 2766	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
6		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
7	1, 6, 3, 4	invid 17869	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
8	1, 2, 3, 4, 4, 5, 7	inviso1 17848	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Catccat 17745  Idccid 17746  Invcinv 17827  Isociso 17828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-cat 17749  df-cid 17750  df-sect 17829  df-inv 17830  df-iso 17831

This theorem is used by:  invisoinvl  17872  cicref  17883