Theorem idiso 17744

Description: The identity is an isomorphism. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 8-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idiso	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem idiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		invid.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
6		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
7	1, 6, 3, 4	invid 17743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
8	1, 2, 3, 4, 4, 5, 7	inviso1 17722	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  Catccat 17619  Idccid 17620  Invcinv 17701  Isociso 17702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-cat 17623  df-cid 17624  df-sect 17703  df-inv 17704  df-iso 17705

This theorem is referenced by:  invisoinvl  17746  cicref  17757