Theorem idinv 17973

Description: The inverse of the identity is the identity. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idinv	⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem idinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		invid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	invfun 17948	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋))
6		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
7	1, 6, 3, 4	invid 17971	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
8		funbrfv 6938	. 2 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋) → ((𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋) → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋)))
9	5, 7, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  Catccat 17847  Idccid 17848  Invcinv 17929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-cat 17851  df-cid 17852  df-sect 17931  df-inv 17932

This theorem is used by:  invisoinvl  17974