Theorem idinv 17717

Description: The inverse of the identity is the identity. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idinv	⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem idinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		invid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	invfun 17692	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋))
6		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
7	1, 6, 3, 4	invid 17715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
8		funbrfv 6883	. 2 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋) → ((𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋) → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋)))
9	5, 7, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  Catccat 17591  Idccid 17592  Invcinv 17673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-cat 17595  df-cid 17596  df-sect 17675  df-inv 17676

This theorem is referenced by:  invisoinvl  17718