MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idinv 17061
Description: The inverse of the identity is the identity. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invid.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
idinv (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼𝑋)) = (𝐼𝑋))

Proof of Theorem idinv
StepHypRef Expression
1 invid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2824 . . 3 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 invid.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invid.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
51, 2, 3, 4, 4invfun 17036 . 2 (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋))
6 invid.i . . 3 𝐼 = (Id‘𝐶)
71, 6, 3, 4invid 17059 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼𝑋))
8 funbrfv 6709 . 2 (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋) → ((𝐼𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼𝑋) → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼𝑋)) = (𝐼𝑋)))
95, 7, 8sylc 65 1 (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼𝑋)) = (𝐼𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  Fun wfun 6339  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  Catccat 16937  Idccid 16938  Invcinv 17017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-cat 16941  df-cid 16942  df-sect 17019  df-inv 17020
This theorem is referenced by:  invisoinvl  17062
  Copyright terms: Public domain W3C validator