Theorem idinv 17879

Description: The inverse of the identity is the identity. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idinv	⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem idinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		invid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	invfun 17854	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋))
6		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
7	1, 6, 3, 4	invid 17877	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
8		funbrfv 6927	. 2 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋) → ((𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋) → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋)))
9	5, 7, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  Catccat 17753  Idccid 17754  Invcinv 17835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-cat 17757  df-cid 17758  df-sect 17837  df-inv 17838

This theorem is used by:  invisoinvl  17880