Theorem idinv 17780

Description: The inverse of the identity is the identity. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idinv	⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem idinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		invid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	invfun 17755	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋))
6		invid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
7	1, 6, 3, 4	invid 17778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋))
8		funbrfv 6947	. 2 ⊢ (Fun (𝑋(Inv‘𝐶)𝑋) → ((𝐼‘𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼‘𝑋) → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋)))
9	5, 7, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  Fun wfun 6543  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  Catccat 17652  Idccid 17653  Invcinv 17736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-cat 17656  df-cid 17657  df-sect 17738  df-inv 17739

This theorem is referenced by:  invisoinvl  17781