MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idinv 17607
Description: The inverse of the identity is the identity. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
invid.i 𝐼 = (Idβ€˜πΆ)
invid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
invid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
idinv (πœ‘ β†’ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem idinv
StepHypRef Expression
1 invid.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2738 . . 3 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3 invid.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4 invid.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
51, 2, 3, 4, 4invfun 17582 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋))
6 invid.i . . 3 𝐼 = (Idβ€˜πΆ)
71, 6, 3, 4invid 17605 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹)(𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋)(πΌβ€˜π‘‹))
8 funbrfv 6889 . 2 (Fun (𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋)(πΌβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹)))
95, 7, 8sylc 65 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋(Invβ€˜πΆ)𝑋)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  Fun wfun 6486  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  Catccat 17479  Idccid 17480  Invcinv 17563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-cat 17483  df-cid 17484  df-sect 17565  df-inv 17566
This theorem is referenced by:  invisoinvl  17608
  Copyright terms: Public domain W3C validator