MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isohom 16825
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
isohom.x (𝜑𝑋𝐵)
isohom.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
isohom (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2778 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 isohom.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 isohom.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 isohom.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 isohom.i . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 16814 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8 isohom.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 16810 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10 dmss 5570 . . . 4 ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
127, 11eqsstrd 3858 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13 dmxpss 5821 . 2 dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
1412, 13syl6ss 3833 1 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792   × cxp 5355  dom cdm 5357  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  Hom chom 16353  Catccat 16714  Invcinv 16794  Isociso 16795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-sect 16796  df-inv 16797  df-iso 16798
This theorem is referenced by:  invisoinvl  16839  invcoisoid  16841  isocoinvid  16842  rcaninv  16843  ffthiso  16978  fuciso  17024  initoeu1  17050  initoeu2lem0  17052  initoeu2lem1  17053  initoeu2  17055  termoeu1  17057  nzerooringczr  43097
  Copyright terms: Public domain W3C validator