Theorem isohom 17719

Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isohom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isohom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isohom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isohom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isohom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isohom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isohom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isohom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isohom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isoval 17708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8		isohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invss 17704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10		dmss 5900	. . . 4 ⊢ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
12	7, 11	eqsstrd 4019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13		dmxpss 6167	. 2 ⊢ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
14	12, 13	sstrdi 3993	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   × cxp 5673  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Hom chom 17204  Catccat 17604  Invcinv 17688  Isociso 17689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-sect 17690  df-inv 17691  df-iso 17692

This theorem is referenced by:  invisoinvl  17733  invcoisoid  17735  isocoinvid  17736  rcaninv  17737  ffthiso  17876  fuciso  17924  initoeu1  17957  initoeu2lem0  17959  initoeu2lem1  17960  initoeu2  17962  termoeu1  17964  nzerooringczr  46923  thinccic  47634