Theorem isohom 17405

Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isohom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isohom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isohom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isohom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isohom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isohom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isohom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isohom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isohom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isoval 17394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8		isohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invss 17390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10		dmss 5800	. . . 4 ⊢ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
12	7, 11	eqsstrd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13		dmxpss 6063	. 2 ⊢ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
14	12, 13	sstrdi 3929	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Hom chom 16899  Catccat 17290  Invcinv 17374  Isociso 17375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-sect 17376  df-inv 17377  df-iso 17378

This theorem is referenced by:  invisoinvl  17419  invcoisoid  17421  isocoinvid  17422  rcaninv  17423  ffthiso  17561  fuciso  17609  initoeu1  17642  initoeu2lem0  17644  initoeu2lem1  17645  initoeu2  17647  termoeu1  17649  nzerooringczr  45518  thinccic  46230