Theorem isohom 17869

Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isohom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isohom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isohom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isohom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isohom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isohom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isohom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isohom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isohom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isoval 17858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8		isohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invss 17854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10		dmss 5890	. . . 4 ⊢ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
12	7, 11	eqsstrd 3968	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13		dmxpss 6168	. 2 ⊢ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
14	12, 13	sstrdi 3946	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   × cxp 5657  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  Hom chom 17357  Catccat 17756  Invcinv 17838  Isociso 17839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-sect 17840  df-inv 17841  df-iso 17842

This theorem is used by:  invisoinvl  17883  invcoisoid  17885  isocoinvid  17886  rcaninv  17887  ffthiso  18024  fuciso  18071  initoeu1  18104  initoeu2lem0  18106  initoeu2lem1  18107  initoeu2  18109  termoeu1  18111  nzerooringczr  21694  upeu2lem  49941  upeu  50084  upeu2  50085  thinccic  50384