Theorem isohom 17839

Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isohom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isohom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isohom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isohom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isohom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isohom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isohom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isohom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isohom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isoval 17828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8		isohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invss 17824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10		dmss 5891	. . . 4 ⊢ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
12	7, 11	eqsstrd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13		dmxpss 6168	. 2 ⊢ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
14	12, 13	sstrdi 3948	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   × cxp 5658  dom cdm 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  Hom chom 17327  Catccat 17726  Invcinv 17808  Isociso 17809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-sect 17810  df-inv 17811  df-iso 17812

This theorem is used by:  invisoinvl  17853  invcoisoid  17855  isocoinvid  17856  rcaninv  17857  ffthiso  17994  fuciso  18041  initoeu1  18074  initoeu2lem0  18076  initoeu2lem1  18077  initoeu2  18079  termoeu1  18081  nzerooringczr  21641  upeu2lem  49834  upeu  49977  upeu2  49978  thinccic  50277