MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isohom 17048
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
isohom.x (𝜑𝑋𝐵)
isohom.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
isohom (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2824 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 isohom.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 isohom.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 isohom.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 isohom.i . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 17037 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8 isohom.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 17033 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10 dmss 5759 . . . 4 ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
127, 11eqsstrd 3991 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13 dmxpss 6017 . 2 dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
1412, 13sstrdi 3965 1 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919   × cxp 5541  dom cdm 5543  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  Hom chom 16578  Catccat 16937  Invcinv 17017  Isociso 17018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-sect 17019  df-inv 17020  df-iso 17021
This theorem is referenced by:  invisoinvl  17062  invcoisoid  17064  isocoinvid  17065  rcaninv  17066  ffthiso  17201  fuciso  17247  initoeu1  17273  initoeu2lem0  17275  initoeu2lem1  17276  initoeu2  17278  termoeu1  17280  nzerooringczr  44649
  Copyright terms: Public domain W3C validator