MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isohom 17766
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
isohom.x (𝜑𝑋𝐵)
isohom.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
isohom (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2728 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 isohom.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 isohom.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 isohom.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 isohom.i . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 17755 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8 isohom.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 17751 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10 dmss 5909 . . . 4 ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
127, 11eqsstrd 4020 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13 dmxpss 6180 . 2 dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
1412, 13sstrdi 3994 1 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949   × cxp 5680  dom cdm 5682  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Hom chom 17251  Catccat 17651  Invcinv 17735  Isociso 17736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-sect 17737  df-inv 17738  df-iso 17739
This theorem is referenced by:  invisoinvl  17780  invcoisoid  17782  isocoinvid  17783  rcaninv  17784  ffthiso  17925  fuciso  17974  initoeu1  18007  initoeu2lem0  18009  initoeu2lem1  18010  initoeu2  18012  termoeu1  18014  nzerooringczr  21413  thinccic  48145
  Copyright terms: Public domain W3C validator