Theorem isohom 17698

Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isohom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isohom.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isohom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isohom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isohom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isohom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem isohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isohom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isohom.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isohom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isohom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isohom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isoval 17687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌))
8		isohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invss 17683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
10		dmss 5849	. . . 4 ⊢ ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
12	7, 11	eqsstrd 3966	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
13		dmxpss 6127	. 2 ⊢ dom ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)) ⊆ (𝑋𝐻𝑌)
14	12, 13	sstrdi 3944	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   × cxp 5620  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  Hom chom 17186  Catccat 17585  Invcinv 17667  Isociso 17668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-sect 17669  df-inv 17670  df-iso 17671

This theorem is referenced by:  invisoinvl  17712  invcoisoid  17714  isocoinvid  17715  rcaninv  17716  ffthiso  17853  fuciso  17900  initoeu1  17933  initoeu2lem0  17935  initoeu2lem1  17936  initoeu2  17938  termoeu1  17940  nzerooringczr  21433  upeu2lem  49215  upeu  49358  upeu2  49359  thinccic  49658